欧拉函数

Posted 2022-12-22 oierjzy

定义
欧拉函数是 小于等于 x的数中与x 互质 的数的 数目
符号φ(x)

通式

欧拉函数常用性质：

phy[i]=i-1  i为质数；

phy[i*j]=phy[i]*phy[j]  i与j互质   （积性函数）  

　　　  =i*phy[j]=phy[i]*j  i与j不互质

小于n的数中，与n互质的数的总和为φ(n)∗n/2  (n>1)φ(n)∗n/2  (n>1)
由上面的证明(更相减损术)我们知道，每一对与nn互质的数的和为nn，共有φ(n)/2φ(n)/2对

欧拉函数线性筛:

sushu[1]=1;phy[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)

    if(!sushu[i])
    
        sushubiao[++q]=i;
        phy[i]=i-1;
    
    for(int j=1;j<=q;j++)
    
        if(sushubiao[j]*i<=500000)
                
            sushu[sushubiao[j]*i]=1;
            if(gcd(sushubiao[j],i)==1)
            phy[sushubiao[j]*i]=phy[sushubiao[j]]*phy[i];
            else phy[sushubiao[j]*i]=sushubiao[j]*phy[i]; 
        
        else break;