10.4.2

Posted 2022-12-22 beiyueya

因为把第三节写完了，所以必须要做个总结。

首先题目是递归与分治。

要我说其实主题就三个，递推（并由递推引进递归，毕竟递推要比递归好理解些），组合计数，分治。

一，递推。（递归）

1，什么是递推。

一串序列存在一种关系，可以通过这种关系从前项或前几项中推出后面的项。

2，怎么个应用法？

一般你需要做三步，第一步，找出初始状态；第二步，找到递推公式；第三步，开始递推。

其中难度一般再找出递推公式，因为题目一般不会明显地给你。最简单的应用就是斐波那契数列。

同时在课件中，给出了如下例题

    1，骨牌铺棋盘

    2，三个难度递增的平面分割问题。

    3，从（1，1）到（x,y）有多少种走法的问题。

    4，（0，0）走到（n,n)，这个好像是组合计数的问题。

3，如何联系到其他知识？

我就来谈谈二分。。二分要有边界，要有单调性。恩，条件数量一样。

4，什么是递归？

直接说递归的定义不好说，但是我们可以先从递归函数的角度出发

若一个函数的定义满足

f(n)=g(n,f(n-1)),n>0;
f(0)=a,              n=0;

　　拥有递归式和递归边界，那么这种定义函数的方式就称之为递归定义。

5，递归在哪里应用？

课件给我说的很清楚。

    1，数据的定义形式是递归的，比如斐波那契数列这种问题。

    2，数据之间的逻辑关系（即数据结构）是递归的，比如树和图的定义等。

    3，某些问题的解法是不断重复一种操作，只是问题的规模由大化小，直到某个原操作就结束。就像汉诺塔问题。

    4，小练手中的全排列的生成。

同时递推在注意记忆化应用。

 

6，和其他知识的联系在哪里？

就和递推联系很近。

 

 

二，组合计数

1，什么是组合计数

以加法原理和乘法原理为基础，在其之上进行组合等对于数字排列的方法。

以排列组合为基础也行。

    （1），什么是加法原理，乘法原理？

加法原理又称分类计数原理，我称之为解渴原理。已知有三种奶茶，四种饮料，我很渴，如果我想要解渴（只你能选择其中一种），那么有多少种解渴方法？显然是7种。

乘法原理又称分步计数原理，我称之为搭配原理。已知你有三种不同的上衣，四种不同的裤子，求你搭配有多少种。显然是12种对吧。

    （2），什么是排列，组合？

排列，从N个数中有序地取出M个数的方案数是多少？

！！！组合，从N个数中无序地取出M个数地方案数是多少？

2，组合计数有什么用？

    1，杨辉三角形（帕斯卡尔三角形），二项式定理。

    2，P3414；

    3，卡特兰数，而且这个东西变式还很多多。

三，分治

1，什么是分治?

分治分治，就是分而治之，将大问题分化成一些小问题再逐个击破。

同时从本质上来说，分治和递归的思想很是接近，都是由大化小。

2，分治的应用？

    1，归并排序（我觉得这跟分治似乎也没有太大联系。。）

    2，以及根据归并求逆序对抱歉我不会。。

    3，最大字段和问题。

    4，快速幂。

四，其他

    1，隔板法。（n个相同的球放到m个不同的袋子里）

    2，n个不同的球放到M个不同的袋子中

    3，n个不同的球放到m个相同的袋子中

     这个解法挺玄幻的。