[LeetCode] 70. 爬楼梯
Posted qiu_jiaqi
tags:
篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了[LeetCode] 70. 爬楼梯相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
题目描述
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?
注意:给定 n 是一个正整数。
示例 1:
输入: 2
输出: 2
解释: 有两种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶
- 2 阶
示例 2:
输入: 3
输出: 3
解释: 有三种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
- 1 阶 + 2 阶
- 2 阶 + 1 阶
分析与代码
- 每次可以爬 1 或 2 个台阶,到达目的台阶要么是从前一个台阶爬 1 个台阶,要么从前两个台阶爬 2 个台阶;问题变为求前两个台阶的爬楼梯方法;很容易得出递推公式 F(n) = F(n-1) + F(n-2),和斐波那契数列一样。
- 那就和 509. 斐波那契数 一样,不同的是这题数列从第二项开始,使用原斐波那契数列的第 2 项和第 3 项作为初始项。
解法一、递归(超时)
代码:
class Solution
public int climbStairs(int n)
if (n <= 2)
return n;
return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
解法二、记忆化递归
- 记忆化是一种优化技术,主要用于加快计算机程序的速度,方法是存储昂贵的函数调用的结果,并在相同的输入再次出现时返回缓存的结果。
- 我们在之前递归的基础上,在计算之前判断是否已计算过,在计算完之后,先不要直接返回结果,而应先以当前 N 为 key,结果为 value 保存到 HashMap 中。
代码:
class Solution
Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
public int climbStairs(int n)
if (n <= 2)
return n;
if (map.containsKey(n))
return map.get(n);
int result = climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
map.put(n, result);
return result;
解法三、动态规划
- 记忆化数组是自顶向下的,动态规划就把这个数组自底向上的生成。
代码:
class Solution
public int climbStairs(int n)
if (n <= 2)
return n;
int[] dp = new int[n];
dp[0] = 1;
dp[1] = 2;
for (int i = 2; i < n; i++)
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
return dp[n - 1];
解法四、优化动态规划
- 要计算的状态只和前两个状态有关,只记录这两个状态,能进一步优化空间。
代码:
class Solution
public int climbStairs(int n)
if (n <= 2)
return n;
int pre = 1, cur = 2;
for (int i = 2; i < n; i++)
int next = pre + cur;
pre = cur;
cur = next;
return cur;
解法五、常规矩阵乘法
\\[ \\beginmatrix \\left[ \\beginmatrix 1 & 0\\ 0 & 0 \\endmatrix \\right] \\left[ \\beginmatrix 1 & 1\\ 1 & 0 \\endmatrix \\right] = \\left[ \\beginmatrix 1+0 & 1+0\\ 0+0 & 0+0 \\endmatrix \\right] = \\left[ \\beginmatrix 1 & 1\\ 0 & 0 \\endmatrix \\right] \\endmatrix \\]
\\[ \\beginmatrix \\left[ \\beginmatrix 1 & 1\\ 0 & 0 \\endmatrix \\right] \\left[ \\beginmatrix 1 & 1\\ 1 & 0 \\endmatrix \\right] = \\left[ \\beginmatrix 1+1 & 1+0\\ 0+0 & 0+0 \\endmatrix \\right] = \\left[ \\beginmatrix 2 & 1\\ 0 & 0 \\endmatrix \\right] \\endmatrix \\]
\\[ \\beginmatrix \\left[ \\beginmatrix F_n & F_n-1\\ 0 & 0 \\endmatrix \\right] \\left[ \\beginmatrix 1 & 1\\ 1 & 0 \\endmatrix \\right] = \\left[ \\beginmatrix F_n+F_n-1 & F_n\\ 0 & 0 \\endmatrix \\right] = \\left[ \\beginmatrix F_n+1 & F_n\\ 0 & 0 \\endmatrix \\right] \\endmatrix \\]
- 用矩阵的第一行记录两个数,再和\\(\\left[ \\beginmatrix 1 & 1\\\\ 1 & 0 \\endmatrix \\right]\\)相乘得出下一个矩阵。
代码:
class Solution
public int climbStairs(int n)
if (n <= 2)
return n;
int[][] matrix = 2, 1 , 0, 0 ;
int[][] func = 1, 1 , 1, 0 ;
for (int i = 2; i < n; i++)
matrix = multiply(matrix, func);
return matrix[0][0];
private int[][] multiply(int[][] a, int[][] b)
int[][] c = new int[2][2];
for (int i = 0; i < 2; i++)
for (int j = 0; j < 2; j++)
c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
return c;
解法六、优化矩阵乘法
在上一个方法中,每次都是乘一个相同的矩阵;而同一数字多个相乘即幂运算,可以用二分法优化成快速幂,而矩阵也同样可以使用,先计算\\(M^n/2\\),然后在用矩阵相乘的公式即可。
矩阵的起始乘积不再是 1,而是单位矩阵\\(\\left[ \\beginmatrix 1 & 0\\\\ 0 & 1 \\endmatrix \\right]\\)。
在这题我们就要把矩阵初始为\\(\\left[ \\beginmatrix 1 & 1\\\\ 1 & 0 \\endmatrix \\right]\\),矩阵结构改为\\(\\left[ \\beginmatrix F_n & F_n-1\\\\ F_n-1 & F_n-2 \\endmatrix \\right]\\)。
代码:
class Solution
public int climbStairs(int n)
if (n <= 2)
return n;
int[][] matrix = 1, 1 , 1, 0 ;
int[][] result = pow(matrix, n);
return result[0][0];
private int[][] pow(int[][] matrix, int n)
int[][] result = 1, 0 , 0, 1 ;
for (int i = n; i > 0; i /= 2)
if ((i & 1) != 0)
result = multiply(matrix, result);
matrix = multiply(matrix, matrix);
return result;
private int[][] multiply(int[][] a, int[][] b)
int[][] c = new int[2][2];
for (int i = 0; i < 2; i++)
for (int j = 0; j < 2; j++)
c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
return c;
解法七、斐波那契公式
\\[ F(n) = \\cfrac((\\cfrac1+\\sqrt[2]52)^n-(\\cfrac1-\\sqrt[2]52)^n)\\sqrt[2]5 \\]
因为是使用原斐波那契数列的第 2 项和第 3 项作为初始项,所以 n 需要 加 1。
代码:
class Solution
public int climbStairs(int n)
double sqrt5 = Math.sqrt(5);
return (int) ((Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1)) / sqrt5);
小结
这题和 509. 斐波那契数 是同一问题,只是初始项不同,这题的初始项是 1 和 2,且 n 不可取 0。
除了初始处理和 n 的边界处理有点不一样,方法还是一样的。
以上是关于[LeetCode] 70. 爬楼梯的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章