左偏树

Posted 2022-12-20 aprincess

一、左偏树的性质

左偏树，又称可并堆，所以他有堆的性质。

定义几个量：valval表示该节点的值，fafa表示该节点的父亲，ch[2]ch[2]表示该节点的两个儿子（因为他是二叉树）,disdis表示这个节点到离他最近的叶子节点的距离。

性质一：该节点的val不大于该节点左右儿子的val

证明：堆。

性质二：该节点左儿子的dis不小于该节点右儿子的dis

证明：左偏树的定义。为了更快的进行合并、查询、删除（快速提取最小值）。

性质三：该节点的dis等于该节点右儿子的dis。

证明：构造的。

性质四：一棵n个节点的左偏树的节点的距离k最多为log(n+1)−1log(n+1)−1

证明：因为左偏树是一棵二叉树，当他节点最少的时候他是一棵完全二叉树，所以n>=2(k+1)−1n>=2(k+1)−1，那么k<=log(n+1)−1k<=log(n+1)−1。（这个结论是用来证明左偏树的时间复杂度的）

二、左偏树的主要操作

左偏树的主要实现就是他的merge，我们删除，插入一个节点就是利用左偏树的merge函数进行操作的。

merge函数的实现方法：

首先，我们建出来的左偏树是一定要符合以上四个性质的，所以我们的merge就是为了在合并后，左偏树仍有这些性质。

1.我们要保证性质一

所以：

if(val[x]>val[y]||(val[x]==val[y]&&x>y))//性质一

    swap(x,y);

2.我们要开始合并，我们将以节点y形成的左偏树和节点x的右子树合并，在让合并后所形成的的左偏树满足性质。

ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);//合并右子树和y

3.合并后的左偏树要满足性质三

dis[x]=dis[ch[x][1]]+1;//性质三

4.我们要更新节点的fa

fa[x]=fa[ch[x][0]]=fa[ch[x][1]]=x;//更新fa

5.为了操作4，我们要return 根节点

return x;

综上，merge函数就是：

int merge(int x,int y)

    if(!x||!y)

    

        return x+y;

    

    if(val[x]>val[y]||(val[x]==val[y]&&x>y))//性质一

    

        swap(x,y);

    

    ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);//合并右子树和y

    if(dis[ch[x][0]]<dis[ch[x][1]])//性质二

    

        swap(ch[x][0],ch[x][1]);

    

    fa[x]=fa[ch[x][0]]=fa[ch[x][1]]=x;//更新fa

    dis[x]=dis[ch[x][1]]+1;//性质三

    return x;

三、基于merge函数的操作

删除某一节点（pop）

我们只要合并这个节点的左右儿子即可。

void pop(int x)

    val[x]=-1;

    fa[ch[x][0]]=ch[x][0];

    fa[ch[x][1]]=ch[x][1];

    fa[x]=merge(ch[x][0],ch[x][1]);

求某一节点所在堆得最小值,并删除此节点

xx=getfa(x);printf("%d\\n",val[xx]);

pop(xx);

另：

有关getfa：

一定要路径压缩，不然原来O(logn)O(logn)的查询，就会被一条链卡成O(n)O(n)。

四、例题：

1.罗马游戏
2.Joint Stacks

 

 

在学OI的前期，我们接触了一种数据结构，叫做堆。它资瓷插入一个元素，查询最小/大元素和删除最小/大元素。然后就发现STL的priority \\ queuepriority queue可以直接用，非常的方便。

但是有时候题目让我们资瓷两个堆的合并，这样priority \\ queuepriority queue就不行了(但是pb_ds还是可以的)。这样我们就要手写左偏树。

什么是左偏树呢？首先，从名字上看，它是一棵树。其实它还是一棵二叉树。它的节点上存4个值：左、右子树的地址，权值，距离。

权值就是堆里面的值。距离表示这个节点到它子树里面最近的叶子节点的距离。叶子节点距离为0。

既然是一种特殊的数据结构，那肯定有它自己的性质。左偏树有几个性质(小根为例)。

性质一：节点的权值小于等于它左右儿子的权值。

堆的性质，很好理解。

性质二：节点的左儿子的距离不小于右儿子的距离。

在写平衡树的时候，我们是确保它的深度尽量的小，这样访问每个节点都很快。但是左偏树不需要这样，它的目的是快速提取最小节点和快速合并。所以它并不平衡，而且向左偏。但是距离和深度不一样，左偏树并不意味着左子树的节点数或是深度一定大于右子树。

性质三：节点的距离等于右儿子的距离+1。

没什么好说的= =

性质四：一个n个节点的左偏树距离最大为log(n+1)-1log(n+1)−1

这个怎么证明呢？我们可以一点一点来。

若左偏树的距离为一定值，则节点数最少的左偏树是完全二叉树。

节点最少的话，就是左右儿子距离一样，这就是完全二叉树了。

若一棵左偏树的距离为k，则这棵左偏树至少有2^k+1-12k+1−1个节点。

距离为k的完全二叉树高度也是k，节点数就是2^k+1-12k+1−1。

这样就可以证明性质四了。因为n>=2^k+1-1n>=2k+1−1，所以k<=log(n+1)-1k<=log(n+1)−1

有了性质，我们来讲讲它的操作。

1.合并

<center></center>

我们假设A的根节点小于等于B的根节点（否则交换A,B），把A的根节点作为新树C的根节点，剩下的事就是合并A的右子树和B了。

<center></center>

合并了A的右子树和B之后，A的右子树的距离可能会变大，当A的右子树 的距离大于A的左子树的距离时，性质二会被破坏。在这种情况下，我们只须要交换A的右子树和左子树。

而且因为A的右子树的距离可能会变，所以要更新A的距离=右儿子距离+1。这样就合并完了。

<center>

C:\\Users\\THTF\\Desktop\\eNDLF.gif（动图！！）

</center>

代码

int merge(int x,int y)

    if (x==0 || y==0)

        return x+y;

    if (val[x]>val[y] || (val[x]==val[y] && x>y))

        swap(x,y);

    ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);

    f[ch[x][1]]=x;

    if (dis[ch[x][0]]<dis[ch[x][1]])

        swap(ch[x][0],ch[x][1]);

    dis[x]=dis[ch[x][1]]+1;

    return x;

我们来分析一下复杂度。我们可以看出每次我们都把它的右子树放下去合并。因为一棵树的距离取决于它右子树的距离(性质三)，所以拆开的过程不会超过它的距离。根据性质四，不会超过log(n_x+1)+log(n_y+1)-2log(nx?+1)+log(ny?+1)−2，复杂度就是O(\\log n_x+\\log n_y)O(lognx?+logny?)

2.插入

插入一个节点，就是把一个点和一棵树合并起来。

因为其中一棵树只有一个节点，所以插入的效率是O(\\log n)O(logn)

3.删除最小/大点

因为根是最小/大点，所以可以直接把根的两个儿子合并起来。

因为只合并了一次，所以效率也是O(\\log n)O(logn)。

代码

#include <cstdio>#define N 100010using namespace std;int inline read()

    int x=0,f=1;char ch=getchar();

    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘)if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();

    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();

    return x*f;

void swap(int &x,int &y)int t=x;x=y,y=t;int ch[N][2],val[N],dis[N],f[N],n,m;int merge(int x,int y)

    if (x==0 || y==0)

        return x+y;

    if (val[x]>val[y] || (val[x]==val[y] && x>y))

        swap(x,y);

    ch[x][1]=merge(ch[x][1],y);

    f[ch[x][1]]=x;

    if (dis[ch[x][0]]<dis[ch[x][1]])

        swap(ch[x][0],ch[x][1]);

    dis[x]=dis[ch[x][1]]+1;

    return x;

int getf(int x)

    while(f[x]) x=f[x];

    return x;

void pop(int x)

    val[x]=-1;

    f[ch[x][0]]=f[ch[x][1]]=0;

    merge(ch[x][0],ch[x][1]);

main()

    n=read(),m=read();

    dis[0]=-1;

    for (int i=1;i<=n;i++)

        val[i]=read();

    for (int i=1;i<=m;i++)

    

        int com=read();

        if (com==1)

        

            int x=read(),y=read();

            if (val[x]==-1 || val[y]==-1)

                continue;

            if (x==y)

                continue;

            int fx=getf(x),fy=getf(y);

            merge(fx,fy);

        

        else

        

            int x=read();

            if (val[x]==-1)

                puts("-1");

            else

            

                int y=getf(x);

                printf("%d\\n",val[y]);

                pop(y);