圆锥曲线：椭圆小题解题报告

Posted 2022-12-19 plzplz

圆锥曲线：椭圆小题解题报告

注意事项：

1. 由于本人水平有限，部分题目解题方法可能非最优解，如有更好方法欢迎在评论区指正。
2. 部分题目讲解可能过于口语化，导致并不符合官方（人教版教材）的要求，请各位在考试中不要学习，使用正确的，符合要求的用语。
3. 本文中可能存在错别字，望发现者在评论区指正。
4. 本篇博客是为记录本人在完成学校作业的过程中遇到的问题，同时给部分同学作为解题参考用。
5. 本篇博客中绘制图像的工具是geogebra。

1~10题：

1

题目：

已知F~1~,F~2~是椭圆\(x^2/4+y^2/3=1\)的两个焦点，点P在椭圆上。

（1）若点P到焦点F~1~的距离等于1，则点P到焦点F~2~的距离为（）

（2）过F~1~做直线与椭圆交于A，B两点，则\(\Delta\)ABF~2~的周长为（）

（3）\(\angle\)PF~1~F~2~=120^。^,则点P到焦点F~1~的距离为（）

解答：

根据方程容易得出a=2，b=1；因为P在椭圆上，则点P到焦点F~2~，F~1~的距离为2a=4；而PF~1~=1，所以PF~2~=3。

由题意易得\(\Delta\)ABF~2~的周长为4a=8.

因为\(\angle\)PF~1~F~2~=120^。^，所以得到方程\(cos\angle\)PF~1~F~2~=\((PF~1~^2+(2a-PF1^2)-F1F2^2)/2*PF1*(2a-PF2)\),解出来PF~1~=\(\sqrt3/3\).

其实可以猜一下，此时P点和椭圆上定点重合，算出来是对的。

2

题目：

已知椭圆C：\(x^2/25+y^2/m^2=1（m>0）\)的左右焦点分别为F~1~,F~2~,点P在C上，且\(\Delta\)PF~1~F~2~的周长为16，则m的值是（）

解答：

由题意得a=5，而\(\Delta\)PF~1~F~2~的周长为16=2a+2c，所以c=3。\(a^2-c^2=b^2\),所以b^2^=m^2^=16,m=4.

3

题目：

椭圆以x轴，和y轴位对称轴，经过点（2，0），长轴长是短轴的两倍，则椭圆方程（）

解答：

由题意得a=2b.若焦点在x轴上a=2b=1，椭圆方程为\(x^2/4+y^2=1\);

若焦点在y轴上，b=2a=4，椭圆方程为\(x^2/4+y^2/16=1\).

4

题目：

已知F~1~（-1，0），F~2~（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F~2~且垂直于x轴的直线交C于A，B两点,且\(|AB|=3\)，则椭圆的方程为（）

解答：

由题意得c=1，\(|AB|=3=2b^2/a\).

因为\(b^2=a^2-c^2\),所以\(3=2(a^2-1)/a\),解得a=2或a=-0.5（舍）。所以b=3。椭圆方程为\(x^2/4+y^2/3=1\).

5

题目：

已知椭圆的方程为\(2x^2+3y^2=m(m>0)\),则此椭圆的离心率为（）。

解答：

方程可变化为\(2x^2/m+3y^2/m=1\),所以\(a^2/b^2=(2/m)/(3/m)\),因为\(e=\sqrt1-a^2/b^2\),所以\(e=\sqrt5/3\).

6

题目：

已知椭圆\(x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)\)的两焦点分别为F~1~,F~2~，若椭圆上存在点P，使得\(\angle\)F~1~PF~2~=120^。^,则椭圆离心率的取值范围（）

解答：

当P在椭圆上，下顶点上时\(\angle\)F~1~PF~2~最大，不妨设上顶点为A。为了满足\(\angle\)F~1~PF~2~=120^。^,\(\angle\)F~1~AF~2~>=120^。^,\(\angle\)F~1~AO>=60^。^,所以\(tan\angle F~1~AO= c/a>= \sqrt3/2\);则\(e\in[\sqrt3/2,1]\).

7

题目：

已知F~1~F~2~是椭圆C：\(x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)\)的左右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为\(\sqrt3/6\),的直线上，\(\Delta\)PF~1~F~2~为等腰三角形，\(\angle\)F~1~F~2~P=120^。^，则C的离心率为（）

解答：

设A（-a，0）,F~1~(-c,0),F~2~(c,0)，所以直线AP的方程为\(y=\sqrt3/6*x+\sqrt3/6*a\),

由题意得|PF~2~|=|F~1~F~2~|=2c,所以P（2c，\(\sqrt3c\)）;

代入直线方程可得a=4c；所以e=1/4；

8

题目：

已知椭圆C：\(x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)\)的左右顶点A~1~,A~2~,且以线段A~1~A~2~为直径的圆与直线bx-ax+2ab=0相切，则C的离心率为（）

解答：

由题意得直线到圆心的距离\(d=|2ab|/\sqrt(a^2+b^2)=a\),所以\(a^2/b^2=3\),\(e=\sqrt1-b^2/a^2=\sqrt6/3\).

9

题目：

已知椭圆C的焦点为F~1~（-1，0），F~2~（1，0），过F~2~的直线与c交于A，B两点，若|AF~2~|=2|F~2~B|，|AB|=|BF~1~|,则C的方程为（）

A.\(x^2/2+y^2=1\) B.\(x^2/3+y^2/2=1\) C.\(x^2/4+y^2/3=1\) D.\(x^2/5+y^2/4=1\)

解答：

|BF~1~|+|F~2~B|=2a，由题意得|AB|+|BF~2~|=2a$\Rightarrow$4|BF~2~|=2a;

所以|AF~1~|=|AF~2~|=a，所以A为短轴端点，\(cos\angle AF2O=1/a\),

\(cos\angle BF1F2=(4+(a/2)^2-(3a/2)^2)/2a=(2-a^2)/a\)

因为\(\angle AF2O+\angle BF1F2=\pi\),

所以\(cos\angle AF2O+cos\angle BF1F2=0\).

\(1/a+(2-a^2)/a=0\Rightarrow a=\sqrt3\).

所以b^2^=2,

故选B。

10

题目：

已知椭圆\(X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)\)的离心率为1/2，则（）

A，a^2^=2b^2^ B,3a^2^=4b^2^ C,a=2b D,3a=4b

解答：

\(e=\sqrt1-b^2/a^2=1/2\Rightarrow b^2/a^2=3/4 \Rightarrow 3a^2=4b^2\).

故选B。

未完成，待补全（预计于2019.10.04补全）