Inverse Lax Wendroff Procedure

Posted 2022-12-19 yuewen-chen

• Inverse Lax Wendroff Procedure
  
  为了简单的理解ILW的思想，考虑如下的一维的守恒律：
  \[ \beginalign u_t+f(u)_x &=0, x\in(-1,1), t>0\u(-1,t) &=g(t), t>0\u(x,0)&=u_0(x), x \in[-1,1] \endalign \]
  假设 \(f'(u(-1,t))\geq \alpha >0\textand, f'(u(1,t)) \geq \alpha >0\) for \(t>0\). 这样假设是为了保证左边边界\(x=-1\)是‘流入‘ 边界，在这里，我们需要施加边界条件。 右边边界是流出边界，无需施加边界条件。
  • 1. 外流边界条件的高阶插值
       在外流边界 \(x=1\), ghost point 的值 \(u_N+1,..u_N+3\) 可以使用四阶的Taylor 展开：
       \[u_j =\sum _k=0^4 \frac(x_j-1)^kk!u^*(k)_R ,j=N+1,..N+3 \]
       where \(u^*(k)_R\) 是对偏导数 \(\displaystyle \frac\partial^k u\partial x^k|_x=1,t=t_n\) \((5-k)\) 阶的近似。在‘流出’边界，\(u^*(k)_R\) 的值应该是用内部点
       \(u_0,..u_N\) 给出的，假如 \(u\)在边界附近 是光滑的，
       \[\boxedu^*(k)_R =\fracd^k p_4(x)dx^k|_x=1 \]
       where \(p_4(x)\) 是 \(u_N-4,...,u_N\) 的4阶Lagrange 插值。
  • 2.‘流入‘ 边界的 ILW 方式
    在流入边界\(x=-1\), 对 ghost point values \(u_-3,u_-2,u_-1\) ,使用 Taylor 展开：
    \[u_j=\sum _k=0^4 \fracx_j+1k!u^*(k)_L,j=-3,..-1\]
    where \(u^*(k)_L\) 是对\(\displaystyle \frac\partial^k u\partial x^k|_x=-1,t=t_n\) 的\((5-k)\) 阶的近似。
    \[ u^*(0)_L =g(t_n)\]
    为了得到 \(\frac\partial ^k u\partial x^k\) 的近似， 使用原方程 \(u_t+f'(u)u_x=0，x=-1,t=t_n\) 可以得到
    \[ \beginalign u^*(1)_L &=-\fracu_t(-1,t_n)f'(u(-1,t_n))\ &=-\fracg'(t_n)f'(g(t_n)) \endalign \]
    更高阶导数\(u^*(k)_L,k\geq 2\)怎么获得呢？ 直接使用插值，如上面的办法。