[BZ1925] [SDOI2010]地精部落

Posted 2022-12-19 gavinzheng

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一道很有意思的DP题。

我们发现因为很难考虑每个排列中的数是否使用过，所以我们想到只维护相对关系。

当我们考虑新的一个位置时，给新的位置的数分配一个排名（可以理解为把这个位置的大小插入在原来两个位置的大小的中间）。

所以令\\(dp[i][j][0/1]\\)表示前i个数，第i个数在前i个数中排名为j，最后两个数是上升/下降时的相对关系的方案数。

那么有：
\\[ dp[i][j][0]=\\sum_k=1^j-1dp[i-1][k][1]\\dp[i][j][1]=\\sum_k=j^i-1dp[i-1][k][0]\\dp[1][1][1]=dp[1][1][0]=1; \\]
然后前缀和优化一下：
\\[ f[i][j][0]=\\sum_k=1^jdp[i][j][0]\\f[i][j][1]=\\sum_k=1^jdp[i][j][1]\\\\]
那么转移就是：
\\[ dp[i][j][0]=f[i-1][j-1][1]\\dp[i][j][1]=f[i-1][i-1][0]-f[i-1][j-1][0]\\初始化：f[1][1][0]=f[1][1][1]=1 \\]
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int maxn=4500;
using namespace std;
int n,p;
int dp[2][maxn][2],f[2][maxn][2];
int main() 
    scanf("%d%d",&n,&p);
    dp[1][1][0]=dp[1][1][1]=f[1][1][1]=f[1][1][0]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) 
        int md=i&1;
        for(int j=1;j<=i;j++)dp[md][j][0]=dp[md][j][1]=0;
        for(int j=1;j<=i;j++) 
            dp[md][j][0]+=f[md^1][j-1][1];dp[md][j][0]%=p;
            dp[md][j][1]+=f[md^1][i-1][0]-f[md^1][j-1][0];dp[md][j][1]%=p;
        
        for(int j=1;j<=i;j++) 
            f[md][j][0]=f[md][j-1][0]+dp[md][j][0];f[md][j][0]%=p;
            f[md][j][1]=f[md][j-1][1]+dp[md][j][1];f[md][j][1]%=p;
        
    
    printf("%d",(((f[n&1][n][1]+f[n&1][n][0])%p)+p)%p);