每日一题_191006

Posted 2022-12-19 math521

若\(\forall x\geqslant 1,x^a+1\mathrme^x+a\lnx\geqslant 0\),则\(a\)的最小值为\(\underline\qquad\qquad\).

解析: 由题首先考察\(a<0\)的情形,设\(t=-a\),则\(t>0\),且题中不等式等价于\[ \forall x\geqslant 1,x\mathrme^x\geqslant x^t\lnx^t.\]
构造函数\(F(x)=x\mathrme^x\),显然\(F(x)\)在\([0,+\infty)\)单调递增,因此上述不等式等价于\[ F(x)\geqslant F\left(\lnx^t\right).\]而\(x>0,\lnx^t\geqslant 0\).因此题中不等式等价于\[ \forall x\geqslant 1,x\geqslant \lnx^t=t\lnx.\]所以\[a=-t\geqslant -\mathrme.\]