整数划分

Posted 2022-12-18 lemon1234

整数划分：

• n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则m1,m2,...,mi为n的一个划分。
• 如果m1,m2,...,mi中的最大值不超过m，即maxm1,m2,...,mi<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
• 举个例子，当n=5时我们可以获得以下这几种划分（注意，例子中m>=5）

5 = 5 
   = 4 + 1 
   = 3 + 2 
   = 3 + 1 + 1 
   = 2 + 2 + 1 
   = 2 + 1 + 1 + 1 
   = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

根据n和m的关系，分为以下几种情况：

1、 当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即1; 
2、 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，1,1,1,...,1; 
3、当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况： 
    (1) 划分中包含n的情况，只有一个即n； 
    (2) 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。因此 p(n,n) =1 + p(n,n-1); 
4、当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于p(n,n); 
5、但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况： 
    (1) 划分中包含m的情况，即m, x1,x2,...xi, 其中x1,x2,... xi 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为p(n-m, m); 
    (2) 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为p(n,m-1);因此 p(n, m) = p(n-m, m)+p(n,m-1);

综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

• p(n, m)= 1; (n=1 or m=1)
• p(n, m)=p(n, n); (n<m)
• 1+ p(n, m-1); (n=m)

• p(n-m,m)+p(n,m-1); (n>m)

  

  #include<iostream>
  #include<cstdio>
  using namespace std;
  int solve(int n,int m) 
      if(n==1||m==1)
          return 1;
      else if(n<m)
          return solve(n,n);
      else if(n==m)
          return 1+solve(n,n-1);
      else
          return solve(n-m,m)+solve(n,m-1);
  
  int main(void) 
      int n;
      cin>>n;
      cout<<solve(n,n)<<endl;
      return 0;
  

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