19CSP-S十一集训三地联考—众神归位题解总结

Posted 2022-12-18 tyouchie

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了19CSP-S十一集训三地联考—众神归位题解总结相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

订正了三天的题目自闭....

T1 幸福T2 树链剖分

技术图片

考虑到对于一个树确定覆盖哪几条边不会随着树的根节点的改变而改变

而且这种对于一个无根树的路径进行覆盖我们显然可以想到树上差分对于边的差分

对于一条路径从s到t 我们类比序列上的差分即 $sum[s]--,sum[t]--,sum[lca(s,t)]-=2$

所以进行一遍dfs 求出一个节点的子树权值和就是从这个点的父节点到这个点被覆盖了多少次

所以我们求出所有的和就是整棵树所有边被覆盖的次数记作res 然后单独考虑这个树链剖分集合的大小

首先$size[i]$ 表示 i的子树和那么就是$fa[i]$指向$i$那条边被覆盖的次数

$maxx[i]$ 表示从i出发的边中所有的儿子y 对应的最大的$size[y]$

$maxp[i]$ 表示从i出发的边中所有的儿子y 对应的次大的$size[y]$ 换根的时候会用到

然后考虑对于一个节点来说我们可以贪心的去选取下一个树链剖分的边是指向哪个儿子的显然是当前被覆盖的边数次数最多的那一条边

这个贪心的正确性应该是显然的所以我们考虑指定不同的根节点一定会造成不同的情况这其中一定存在一个换根dp

我们按照刚才贪心的思路我们可以求出来以当前为根的子树内最大树链剖分的大小指定1为根节点显然存在$g[1]=所有节点的maxx[i]$

假设当前存在一条从x指向y的边而且 $g[x]$ 已经求出我们现在考虑怎么求出来$g[y]$

存在状态转移方程:

$$g[y]=g[x]-max(size[x],maxx[x])-maxx[y];$$

$$g[y]+=max(size[y],maxx[y])+max(size[x],size[y]==maxx[x]?maxp[x]:maxx[x]);$$

对于第二个方程是因为我们需要知道x有没有选择指向y的那条边如果选择的是y 那么我们就要加上x出发的次大值否则

我们就要加上最大值此时y成为了整颗子树的根而对于他的儿子他只能选择一条边我们按照贪心的思路就找都这条边

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<typename T>inline void read(T &x) 
    x=0;T f=1,ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))     if(ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();
    x*=f;
 
typedef long long ll;
const int N=100010;
ll n,m,tot,x,y,size[N],sum[N],d[N],f[N][25],lin[N];
ll g[N];//f1[i]表示以i为根的子树内的最大树链剖分
//g[i] 表示以i为整颗子树的根的最大树链剖分 
ll res,maxx[N],maxp[N],sx[N],sxp[N];
struct gg 
    int y,next;
a[N<<1];
inline void add(ll x,ll y) 
    a[++tot].y=y;
    a[tot].next=lin[x];
    lin[x]=tot;
 
inline void bfs() 
    queue<ll>q;
    q.push(1);d[1]=1;
    while(q.size()) 
        ll x=q.front(); q.pop();
        for(ll i=lin[x];i;i=a[i].next) 
            ll y=a[i].y;
            if(d[y]) continue;
            d[y]=d[x]+1;
            f[y][0]=x;
            for(int j=1;j<=23;j++)
                f[y][j]=f[f[y][j-1]][j-1];
            q.push(y);
        
    

inline ll lca(ll x,ll y) 
    if(d[x]>d[y]) swap(x,y);
    for(ll i=23;i>=0;--i) 
        if(d[f[y][i]]>=d[x]) 
            y=f[y][i];
    
    if(x==y) return x;
    for(ll i=23;i>=0;--i) 
        if(f[y][i]!=f[x][i]) 
            y=f[y][i],x=f[x][i];
        
    
    return f[x][0];

inline void dfs(ll x,ll fa) 
    size[x]=sum[x];
    for(ll i=lin[x];i;i=a[i].next) 
        ll y=a[i].y;
        if(y==fa) continue;
        dfs(y,x);
        size[x]+=size[y];
        if(maxx[x]<size[y]) 
            maxp[x]=maxx[x];
            maxx[x]=size[y];
        
        else if(size[y]>maxp[x]) 
            maxp[x]=size[y];
        
    
    g[1]+=maxx[x];res+=size[x];

inline void dp(ll x,ll fa) 
    for(ll i=lin[x];i;i=a[i].next) 
        ll y=a[i].y;
        if(y==fa) continue;
        g[y]=g[x]-max(size[x],maxx[x])-maxx[y];
        g[y]+=max(size[y],maxx[y])+max(size[x],size[y]==maxx[x]?maxp[x]:maxx[x]);
        dp(y,x);
    
 
int main() 
    //freopen("1.in.cpp","r",stdin);
    read(n); read(m);
    for(ll i=1;i<n;i++) 
        read(x); read(y);
        add(x,y); add(y,x);
    
    bfs();
    for(ll i=1;i<=m;i++) 
        read(x); read(y);
        sum[x]++,sum[y]++;
        ll c=lca(x,y);
        sum[c]-=2;
    
    dfs(1,0);
    dp(1,0);
    ll ans=0,x;
    for(ll i=1;i<=n;i++)  
        if(ans<g[i]) 
            //x=i;
            ans=g[i];
        
    
    cout<<res-ans<<endl;
    return 0;