堆排序(选择排序)

Posted 2022-12-17 carpeak

1 堆的概念

堆是一棵顺序存储的完全二叉树。

其中每个结点的关键字都不大于其孩子结点的关键字，这样的堆称为小根堆。

其中每个结点的关键字都不小于其孩子结点的关键字，这样的堆称为大根堆。

举例来说，对于n个元素的序列R0, R1, ... , Rn当且仅当满足下列关系之一时，称之为堆：

　　(1) Ri <= R2i+1 且 Ri <= R2i+2 (小根堆)

　　(2) Ri >= R2i+1 且 Ri >= R2i+2 (大根堆)

其中i=1,2,…,n/2向下取整; 

 

 

如上图所示，序列R3, 8, 15, 31, 25是一个典型的小根堆。

堆中有两个父结点，元素3和元素8。

元素3在数组中以R[0]表示，它的左孩子结点是R[1]，右孩子结点是R[2]。

元素8在数组中以R[1]表示，它的左孩子结点是R[3]，右孩子结点是R[4]，它的父结点是R[0]。可以看出，它们满足以下规律：

设当前元素在数组中以R[i]表示，那么，

(1) 它的左孩子结点是：R[2*i+1];

(2) 它的右孩子结点是：R[2*i+2];

(3) 它的父结点是：R[(i-1)/2];

(4) R[i] <= R[2*i+1] 且 R[i] <= R[2i+2]。

 

2 重点

首先，按堆的定义将数组R[0..n]调整为堆（这个过程称为创建初始堆），交换R[0]和R[n]；

然后，将R[0..n-1]调整为堆，交换R[0]和R[n-1]；

如此反复，直到交换了R[0]和R[1]为止。

 

以上思想可归纳为两个操作：

（1）根据初始数组去构造初始堆（构建一个完全二叉树，保证所有的父结点都比它的孩子结点数值大）。

（2）每次交换第一个和最后一个元素，输出最后一个元素（最大值），然后把剩下元素重新调整为大根堆。 

当输出完最后一个元素后，这个数组已经是按照从小到大的顺序排列了。

先通过详细的实例图来看一下，如何构建初始堆。

设有一个无序序列  1, 3, 4, 5, 2, 6, 9, 7, 8, 0 。

 

构造了初始堆后，我们来看一下完整的堆排序处理：

还是针对前面提到的无序序列  1, 3, 4, 5, 2, 6, 9, 7, 8, 0  来加以说明。