Luogu P5363 [SDOI2019]移动金币

Posted 2022-12-17 cjjsb

话说这题放在智推里好久了的说，再不写掉对不起自己233

首先你要知道一个叫做阶梯Nim的东西，具体的可以看这篇博客

那么我们发现这和这道题的关系就很明显了，我们把两个金币之间的距离看作阶梯Nim的每一堆的石子个数

考虑阶梯Nim的结论：奇数编号堆的石子异或和为\\(0\\)，发现我们可以搞一个很暴力的DP出来

\\(f_i,j,k\\)表示当前放了前\\(i\\)堆石子，总共用了石子个数是\\(j\\)，其中奇数堆石子的异或和为\\(k\\)的方案数，转移的时候直接枚举当前堆拿了几个即可，复杂度\\(O(n^3\\times m)\\)，显然无法通过此题

我们再来冷静一下，发现限制的条件是异或，那么果断想到从二进制的角度出发

先容斥一下，令\\(f_i,j\\)表示做了前\\(i\\)位的，奇数堆和为\\(j\\)且异或和为\\(0\\)的方案数，最后用隔板法综合偶数堆的情况然后用\\(C_n^m\\)减去即可

然后DP就很好转移了，我们从高到低枚举二进制位，然后枚举奇数堆的和，剩下枚举这一位是\\(1\\)的奇数堆的个数（显然必须为偶数），然后转移的时候乘上组合数即可

复杂度\\(O(nm\\times \\log n)\\)，足以通过本题的数据范围。当然提一下这题还有利用进位角度考虑然后再用MTT优化的\\(O(m\\log m\\log n)\\)的优秀做法因此是可以出一个加强版的233

#include<cstdio>
#define RI register int
#define CI const int&
using namespace std;
const int N=200005,R=20,mod=1e9+9;
int n,m,f[R][N],odd,even,num,ret,fact[N],inv[N];
inline void inc(int& x,CI y)

    if ((x+=y)>=mod) x-=mod;

inline int sub(CI x,CI y)

    int t=x-y; return t<0?t+mod:t;

inline int quick_pow(int x,int p=mod-2,int mul=1)

    for (;p;p>>=1,x=1LL*x*x%mod) if (p&1) mul=1LL*mul*x%mod; return mul;

inline void init(CI n)

    RI i; for (fact[0]=i=1;i<=n;++i) fact[i]=1LL*fact[i-1]*i%mod;
    for (inv[n]=quick_pow(fact[n]),i=n-1;~i;--i) inv[i]=1LL*inv[i+1]*(i+1)%mod;

inline int C(CI n,CI m)

    return 1LL*fact[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;

int main()

    RI i,j,k; scanf("%d%d",&n,&m); init(n+m);
    for (odd=m+1>>1,even=m+1-odd,num=n-m,f[R-1][num]=1,i=R-2;~i;--i)
    for (j=0;j<=num;++j) for (k=0;j+(1<<i)*k<=num&&k<=odd;k+=2)
    inc(f[i][j],1LL*f[i+1][j+(1<<i)*k]*C(odd,k)%mod);
    for (i=0;i<=num;++i) inc(ret,1LL*f[0][i]*C(i+even-1,even-1)%mod);
    return printf("%d",sub(C(n,m),ret)),0;