矩阵快速幂

Posted 2022-12-16 handsomegodzilla

矩阵优化可以经常利用在递推式中。

首先了解一下矩阵乘法的法则。

\(\beginbmatrixa&b\\c&d\endbmatrix\) \(\times\) \(\beginbmatrixe&f\\g&h\endbmatrix\) \(=\) \(\beginbmatrix a \times e + b \times g & a \times f + b \times h \\ c \times e + d \times g & c \times f + d \times h \endbmatrix\)

这就貌似非常简单了。

看一个例题，斐波那契数列不同于一般的斐波那契数列，\(n\)在\(long\) \(long\)之内，所以\(O(n)\)绝对会超时，这是需要矩阵快速幂，复杂度是\(O(3^3logn)\) \(=\) \(O(9log n)\)，忽略常数，那么复杂度就是\(O(logn)\)

我们定义一个矩阵等式，然后去求问号矩阵

\(\beginbmatrix f[i+1] & f[i]\endbmatrix\) \(\times\) \(\beginbmatrix? \endbmatrix\) \(=\) \(\beginbmatrixf[i+2] & f[i+1] \endbmatrix\)

\(f[i+2] = f[i] + f[i+1]\)

构造的\(?\)号矩阵就是

\(\beginbmatrix 1 & 1 \\ 1 & 0\endbmatrix\)

带回检验

\(\beginbmatrixf[i+1] & f[i] \\ 0 & 0\endbmatrix \times \beginbmatrix 1 & 1 \\ 1 & 0\endbmatrix = \beginbmatrixf[i+1] \times 1 + f[i] \times 1 & f[i+1] \times 1 + f[i] \times 0 \\ 0 \times 1 + 0 \times 1 & 0 \times 1 + 0 \times 0 \endbmatrix\)

上式化简为

\(\beginbmatrixf[i+2] & f[i+1] \\ 0 & 0\endbmatrix = \beginbmatrixf[i+2] & f[i+1]\endbmatrix\)

所以成立.

矩阵快速幂模板代码就是

struct Mat 
    int a[3][3];
    Mat() memset(a,0,sizeof a);
    inline void build() 
        memset(a,0,sizeof a);
        for(re int i = 1 ; i <= 2 ; ++ i) a[i][i]=1;
    
;
Mat operator*(Mat &a,Mat &b)

    Mat c;
    for(re int k = 1 ; k <= 2 ; ++ k)
        for(re int i = 1 ; i <= 2 ; ++ i)
            for(re int j = 1 ; j <= 2 ; ++ j)
                c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
    return c; 

Mat quick_Mat(int x)

    Mat ans;ans.build();
    while(x) 
        if((x&1)==1) ans = ans * a;
        a = a * a;
        x >>= 1;
    
    return ans;

例题代码是

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <stack>
#define re register
#define Max 200000012
#define int long long
int n;
const int mod=1000000007;
struct Mat 
    int a[3][3];
    Mat() memset(a,0,sizeof a);
    inline void build() 
        memset(a,0,sizeof a);
        for(re int i = 1 ; i <= 2 ; ++ i) a[i][i]=1;
    
;
Mat operator*(Mat &a,Mat &b)

    Mat c;
    for(re int k = 1 ; k <= 2 ; ++ k)
        for(re int i = 1 ; i <= 2 ; ++ i)
            for(re int j = 1 ; j <= 2 ; ++ j)
                c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
    return c; 

Mat a;
Mat quick_Mat(int x)

    Mat ans;ans.build();
    while(x) 
        if((x&1)==1) ans = ans * a;
        a = a * a;
        x >>= 1;
    
    return ans;

signed main()

    scanf("%lld",&n);
    a.a[1][1]=1;a.a[1][2]=1;
    a.a[2][1]=1;Mat b;
    b.a[1][1]=1;b.a[2][1]=1;
    if(n>=1 && n<=2) 
        printf("1");return 0;
    
    Mat ans=quick_Mat(n-2);
    ans=ans*b;
    printf("%lld",ans.a[1][1]);
    return 0;