代数不等式与超越不等式

Posted 2022-12-16 wanghai0666

前言

超越不等式

如果不等式的两边至少有一个是超越函数，则称这个不等式为超越不等式。如\(2^x>x-1\)，包括指数不等式、对数不等式、三角不等式和反三角不等式等。

备注：代数函数¹；超越函数²；代数不等式³；

超越不等式求解思路

例1求解关于\(x\)的不等式\((2^x)-3\cdot 2^x+2<0\)；

分析：换元法，令\(2^x=t>0\)，则原超越不等式可以等价转化为代数不等式，不过是带有条件的，比如\(t>0\);

转化为\(t^2-3t+2<0(t>0)\)，用求解代数不等式的相应方法求解，

解得\(1<t<2\)，即\(1<2^x<2\)，解得\(0<x<1\)，

故所求的解集为\((0，1)\)。

例2求解关于\(x\)的不等式 \(2^x\geqslant 3-x\)

分析：不能使用代数不等式的求解方法，故想到数形结合的思路，

在同一个坐标系中做出两个函数\(y=2^x\)和\(y=3-x\)的图像，其交点往往比较特殊；

由图像可知，不等式的解集为\([1，+\infty)\)。

引申：上述例子中的图像交点往往比较特殊，如果变为一般的情形呢？

例3求解关于\(x\)的不等式\(2^x\geqslant 4-x\)

分析：绝大多数的题目的交点坐标往往比较特殊，我们都可以轻松解决；但不是所有题目都这样，比如本题目；

此时我们还是有办法的，就是用到零点存在性定理和二分法，

令函数\(f(x)=2^x+x-4\)，则\(f(1)=-1<0\)，\(f(2)=2>0\)，故函数的零点\(x_0\)一定满足\(x_0\in (1，2)\)，能不能将有解区间再压缩呢？

用二分法，求解\(f(1.5)=2^1.5+1.5-4\approx 0.3>0\)，故有解区间压缩为\((1，1.5)\)之间，

如果还嫌不够，继续求解\(f(1.25)=2^1.25+1.25-4\approx 0.1\)，\(2^1=2^\frac44<2^1.25=2^\frac54<2^\frac64=2\sqrt2\)；

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1. 代数函数
   变量之间的关系是用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如\(y=x^3+2x^2\)\(-x+1\)，\(y=\sqrtx-3\)等；?

2. 超越函数
   是指变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如对数函数\(y=log_2^x\)，反三角函数如\(y=arcsinx\)，指数函数如\(y=2^x\)，三角函数如\(y=sinx\)等就属于超越函数，它们属于初等函数中的初等超越函数。对数和指数函数即为超越函数的例子。?

3. 代数不等式
   不等式两边的函数，如果都是代数函数，则称这个不等式为代数不等式，如\(\cfrac2x-1>2x+1\)；可以划分为有理不等式(整式不等式和分式不等式)和无理不等式；?