#10月2日集训内容总结

Posted 2022-12-15 little-cute-hjr

1.xor运算，双xor一个数得到原数不变（2n+1）
2.3n+1
定义一个新的运算为 @ 规定为三进制不进位的加法
1 @ 1 @ 1 =0
2 @ 2 @ 2 =0
3n+2
考虑1 @ 1 =2;2 @ 2 =1;
如果出现三次，=0，则最后答案由出现两次的提供！
3.最大空白矩阵：
维护二维前缀和+暴力！
悬线法？枚举左上角+右下角
3.种地方案
先考虑一维空间如何做？
2 3 3 6 6 9 2 7
t>6
浮动光标？滑动窗口？
？？？？
4.借教室！
差分？
二分？
5.RMQ
取ans=max(a[li....ri])
而对于ans，有ans=max(a[li,li+(ri-li)/2],a[li+(ri-li)/2,ri]);
6.区间取模计数
当p<100 预处理+二分
当p>=100 p<10000
递推位置
7.淹水
正着想不太好想，倒过来做，先把所有的城市都阉掉，将该淹掉的城市保留
还原每个水面上的城市，并且处理联通合并
8.淹水升级(星球大战)
考虑像刚才一样维护并查集，对于集合u，如果加入城市v，贡献sum+=size(u)
但是，数据范围1e6不可行！
如果n个城市联通
(n-1)+(n-2)+(n-3)+....+1=n(n-1)/2;
还是考虑刚才倒着做的过程，当合并某个集合S1，S2时
S1,s2对答案的贡献就是S1*S2!
(其实最多就是合并四个集合！)
9.关押罪犯
考虑维护两个监狱，对于罪犯i,j，将他们按照冲突概率排序
10.石头剪子布
1.带权柄茶几
2.拆点并查集
11.馒头
曼哈顿距离？？？

ri代表i这个数的前驱
若ri==i表示i的树根
当我们删掉一个数的时候
ri==getroot(i-1);
12.维护中位数
维护两个堆
一个开大根对，一个开小根堆
保证上面大根堆的数都比下方的大
13.左偏树
14.树状数组：lowbit操作
int lowbit n = x & -x;
-x为x的补码
设x=100100

相当于更高一位的1000000
100100
做减法
0011100
从第一个1开始与原来相同
之后相当于按位取反！
所以100100 & 011100 = 1000;
15.用树状数组维护差分数组 update(x,a[x]-a[x-1]);
16.区间修改，区间查询？

 

PM:
1.线段树
维护某种奇怪的东西
一个 n ? m 的点阵, 每行内部没有连接. 仅有若干处于相邻两行
之间的点有边 (单向, 只能从上到下).
若干次查询某两个点之间的路径条数, 或增/删一条边 (依然满足
上述条件).
n, q ≤ 1e5, m ≤ 1e2.
考虑一个DAG，两点间的方案数目
正常：拓扑排序+DP
线段树的叶子节点存储了一个类似于邻接矩阵的东西；
线段树自带拓扑序；
对任意一个子树结构，表示出他的邻接矩阵Mfa
Mfa[i,j]=ΣMlch[i,k]*Mrch[k,j];
线段树维护矩阵，只要他的左右两个区间可以合并，那么就可以考虑使用线段树
来合并！
矩阵乘法！

2.维护数列，支持区间设为一个数，查询区间内有多少段不同的数
1.记录总共有多少段数，记录线段树的这一个节点左端点的数和有断点的数
2.合并时，比较两个区间的左右度端点，决定是否加1

3.奇妙的高度
类似于从一个方向看一列高度不同的楼？可以看到多少栋楼？

（1）分块？+二分？？？二分不是应该在有序表中进行的吗？？？

（2）考虑线段树，节点维护节点的最大楼高，设其为tallest,
左右儿子的maxh 为 hL,hR;

(3) count，rightcontri,tallest
4.巨大的查找
初始全是0
相当于一个巨大的lazytag
考虑当前的lazytag的pushdown操作：
不一定需要把儿子开出，即不一定需要件数
lazy:all=0
左右儿子为null
现在考虑修改操作！修改时现开他的儿子！
左右两边还有lazy
继续递归下去修改
只有访问到了某个点才需要开出那个节点，每次访问只
开logN个节点，所以我们可以把线段树的空间复杂度
控制在mLogN,这样不能支持动态开点了！
需要解锁指针线段树技能

5.计算几何？
求所有矩形的覆盖面积？
离散化：压缩到较小的区间内，可以不需要动态开点就实现
扫描线
6.加强版扫描线
只关心k范围内的数据，维护<=k个巨型覆盖的

7.搜索树？
如何建立一个二叉搜索树
中序遍历
每次调中间的节点作为根节点建立子树

替罪羊树(没有旋转调代码难，不会TLE）
对一个大小为n的树，均摊复杂度为nlogn

求出每个节点的子节点个数
定义不平衡因子index为左右儿子中的较大值除以它自己的大小
定义index>0.7时为不平衡现象
每次插入时沿着链插入
当链上最大的ub index > 0.7
重构不平衡子树

 

1.研究哈希算法、哈希表和KMP（ok）

2.学习平衡树Treap（ok）

3.悬线法：https://wenku.baidu.com/view/bc8311f69e314332396893f7.html

4.线段树的高级应用：节点维护邻接矩阵/区间取模计数/扫描线 线段树

5.特殊的并查集：食物链/星球大战/种类并查集