欧拉函数

Posted 2022-12-15 defense

令 \(N=p_1^c_1p_2^c_2...p_m^c_m\)

则\(\varphi(n)=N \times \prod_prime_p|N(1-\frac1p)\)

关于欧拉函数：

①\(\forall n>1 ,\sum_i=1,gcd(i,n)=1^ni=\fracn2 \times \varphi(n)\)

②\(gcd(a,b)=1,\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\)

③若\(f(ab)=f(a) \times f(b)\),当\(n=\prod_i=1^mp_i^c_i\),则\(f(n)=\prod_i=1^mf(p_i^c_i)\)

④当\(p\)为质数时，且\(p|n,p^2|n\),则\(\varphi(n)=\varphi(\fracnp) \times p\)

⑤当\(p\)为质数时，且\(p|n,p^2!|n\),则\(\varphi(n)=\varphi(\fracnp) \times (p-1)\)

⑥\(\sum_d|n\varphi(d)=n\)

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# 证明：

①：
首先证明\(gcd(n,x)=gcd(n,n-x)(x<n)\)

设\(n=am,x=an\)(其中\(gcd(m,n)=1\))

则\(gcd(am,an)=a,gcd(am,am-an)=a\)

证毕。

所以\(x,x-n\)成对出现，顾所有的平均数为\(\frac x+(x-n)2=\fracn2\)
所以与\(n\)互质数的平均数也为\(\fracn2\)

证毕

②：将\(a,b\)分解质因数可得