网络流之最大流

Posted 2022-12-14 gmsd

暑假就已经学过了，可是因为我太菜了，所以完全没懂，今天老师要我们落实之前学的，就复习了网络流

虽然CSP不考，但是学了也可以用（就像去年D2T3，动态DP模板）

好了，接下来进入正题：

首先，啥子事网络流，官方解释如下

在图论中，网络流（英语：Network flow）是指在一个每条边都有容量（capacity）的有向图分配流，使一条边的流量不会超过它的容量。
通常在运筹学中，有向图称为网络。顶点称为节点（node）而边称为弧（arc）。一道流必须匹配一个结点的进出的流量相同的限制，除非这是一个源点（source）──有较多向外的流，
或是一个汇点（sink）──有较多向内的流。一个网络可以用来模拟道路系统的交通量、管中的液体、电路中的电流或类似一些东西在一个结点的网络中游动的任何事物。

嘿嘿，好像不懂，简单一点来说：

有一个储水站，给一个小区分配水，而你又住在里面

每家每户都有不同规格的水管，也就是说，在速度不变的情况下，同一时间内，流动的水的多少不同

而且从储水站里面送出来的速度必须一样，因为流速越快，液体压强越大

我们当然不希望水管炸裂

每一户人家用完的水肯定要运输到一个废水处理站

我们需要求的是储水站最多可以送出多少水，最后能够送到废水处理站（因为要回收利用）

 

我第一次看到这个题目时，产生了一段对话：

我：这个不就是暴力枚举吗？？？
某巨佬：......这个超时了
我：......那怎么做
某巨佬：EK或者是Dinic
我：？？？什么玩意儿

首先明确几个概念：

容量：每条边都有一个容量(水管的最大水流容量)

源点：出发点(储水站)。

汇点：结束点(废水处理站)。

流：一个合法解称作一个流，也就是一条可以从源点到汇点的一条合法路径。

流量：每条边各自被经过的次数称作其流量，最终收集的总数为整个流的流量。

增广路：在当前网络之后找到一条能够从源点到汇点能运更多货物的路径。当一条边被增广之后(即它是增广路的一部分,或者说增广路通过这条边),这条边还能通过的流量，叫做剩余流量，修改之后的图称为残量网络。

 

首先是我最喜欢的EK算法（主要是代码易懂，简洁，适合我这种蒟蒻）

它的思想很简单，每一次疯狂的寻找增广路，当然如果其中有一条边为‘0’，就不是增广路，将当前的流量减去中间的最小值（肯定的，因为如果不是最小值水就不能通过）

ans加上当前这个最小值，直到寻找不到增广路

但是有瑕疵，可以把这个hack掉：

我们可以轻易知道，答案为2，但是如果按照以上思想：

程序会这样跑，以至于ans=1：

所以，我们需要给这个程序一个后悔的机会

是不是想到dfs回溯，很明显，超时了

所以我们想到了一个巧妙的办法，建反边，初始值为零

在找增广路的时候，设这条路的最小流量为opt

那么，反边的值+opt，正边-opt

我们可以这么想，我们走反的边相当于将水退了回去

好的，就这样，AC代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=300002;
int spot,EDGE,S,E;
int head[N],ver[N],nxt[N],tot,edge[N];
int q[N],hd,tl,res[N],now[N],pre[N],ans;

int read()
    int s=0,w=1;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘)w=(ch==‘-‘)?-1:1,ch=getchar();
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)s=s*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
    return s*w;


void write(int x)
    if(x<0) putchar(‘-‘);x=-x;
    int y=10,len=1;
    while(y<=x) y*=10;len++;
    while(len--)y/=10;putchar(x/y+48);x%=y;


void add(int x,int y,int z)
    ver[++tot]=y;edge[tot]=z;nxt[tot]=head[x];head[x]=tot;


bool Bfs()
    memset(res,0,sizeof(res));
    hd=0;tl=1;q[1]=S;res[S]=1;now[S]=1e9;
    while(hd^tl)
        hd++;
        int x=q[hd];
        for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
            int y=ver[i];
            if(!res[y]&&edge[i]>0)
                now[y]=min(now[x],edge[i]);pre[y]=i;
                if(y==E)return 1;
                tl++;q[tl]=y;res[y]=1;
            
        
    
    return 0;


void EK()
    ans+=now[E];
    int x=E;
    while(x!=S)
        edge[pre[x]]-=now[E];edge[pre[x]+1]+=now[E];
        x=ver[pre[x]+1];
    


int main()
    EDGE=read();S=1;E=read();
    for(int i=1;i<=EDGE;i++)
        int x=read(),y=read(),z=read();
        add(x,y,z);add(y,x,0);
    
    while(Bfs())EK();
    write(ans);
    return 0;

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