luoguP3935计算

Posted 2022-12-12 guodonglovesoi

容易发现,\(f(x)\)等于因子数量。

对于\(l,r\)都很大的题目，一般可以采用前缀和的方式解决。

设\(sum(x)=\sum_i=1^i<=x f(i)\)

考虑枚举因数。

如果一个因数为\(v\),那么在\(1->x\)的范围内，\(v\)出现了\(\lfloor x/v\rfloor\)次.

于是我们可以这样子表示\(sum(x)\):

\[ sum(x)=\sum_i=1^i<=x \lfloor x/i\rfloor \]

观察一下规律：

比如我们要求\(sum(14)\)，那么求解过程如下：

\[ 14/1=14\\ 14/2=7\\ 14/3=4\\ 14/4=3\\ 14/5=2\\ 14/6=2\\ 14/7=2\\ 14/8=1\\ 14/9=1\\ 14/10=1\\ 14/11=1\\ 14/12=1\\ 14/13=1\\ 14/14=1\\ \]
发现有很多重复的，比如：
\[ 14/5=2\\ 14/6=2\\ 14/7=2\\ \]

于是我们可以把它划分成若干个重复的序列进行求解

---

我们把重复的左边设作\(l\),（这里的\(l=5\))

我们把重复的右边设作\(r\),(这里的\(r=7\))

发现一个性质:

\[ \lfloor v/l\rfloor=\lfloor v/r \rfloor \]

如果我们知道了\(l\),那么L

\[ r=v/\lfloor v/l \rfloor\\]

上面的式子可以举例子感性理解得出

当然，你也可以二分求解这个\(r\)\((O(\log_2(n))\)

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我们知道了\(l,r\)之后，那么对\(sum(x)\)的贡献就是\(\lfloor x/l\rfloor\times(r-l+1)\)。

关于时间复杂度：
如果你知道，请告诉我

不过根据跑出来的时间我猜是\(\sqrtn\)级别的

类似题目：余数求和

记得：取模取模取模取模取模取模

---

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<map>
#include<queue>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define int long long   
using namespace std;
inline int gi()char tmp=getchar();int flag=1;while(tmp<'0'||tmp>'9')if(tmp=='-')flag=-1;tmp=getchar();break;tmp=getchar();int ans=0;while(tmp<='9' and tmp>='0') ans=ans*10+tmp-'0';tmp=getchar();return ans*flag;
inline void write(int x)static int stk[100], top = 0;if (x == 0)  putchar('0'); putchar(' ');return; if (x < 0)  x = -x; putchar('-'); while (x)  stk[++top] = x % 10; x /= 10; while (top)  putchar(stk[top--] + '0'); putchar(' ');
#define line() putchar('\n');
#define Mem(Arr,V) memset(Arr,V,sizeof Arr);
#define Mcpy(Arr,qwq) memcpy(Arr,qwq,sizeof qwq);
#define max3(a,b,c) max(max(a,b),c)
#define max4(a,b,c,d) max4(max3(a,b,c),d);
#define in(a) a=gi()
#define in2(a,b) in(a),in(b)
#define in3(a,b,c) in2(a,b),in(c)
#define in4(a,b,c,d) in3(a,b,c),in(d)
#define write2(a,b) write(a),write(b)
#define write3(a,b,c) write2(a,b),write(c)
#define write4(a,b,c,d) write3(a,b,c),write(d)
const int mod=998244353;
inline void smin(int &x,int y)x=min(x,y);
inline void smax(int &x,int y)x=max(x,y);
inline int Mul(int x,int y)

    int ans=0;
    while(y)
    
        if(y&1) ans+=x;
        x=x+x;
        x%=mod;
        ans%=mod;
        y>>=1;
    
    if(ans<=0)
    
        write2(x,y);
        exit(0);
    
    return ans;

inline int Sum(int v)

    if(v==0) return 0;
    int ans=0;
    for(int l=1,r;l<=v;l=r+1)
    
        r=v/(v/l);
        ans+=((r-l+1)%mod*((v/l)%mod));
        ans%=mod;
        if(ans<=0)
        
            // write2(x,y);
            exit(0);
        
        l=r+1;
    
    return ans%mod;

signed main()

    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("data.in","r",stdin);
    #endif
    int l,r;
    in2(l,r);
    // write(Mul(l,r));
    // return 0;
    write(((Sum(r)-Sum(l-1)%mod)+mod)%mod);
    return 0;