noip复习之数学——递推关系

Posted 2022-12-11 iwillenter-top1

1.问题一：兔子的繁殖（斐波拉契数列）

? f[n]=f[n-1]+f[n-2]

\[ Fibonacci:f(n)=\frac1\sqrt5\left(\frac1+\sqrt52\right)^n-\frac1\sqrt5\left(\frac1-\sqrt52\right)^n \]

问题二：凸三角形剖分/括号化问题/不同出栈次序数问题/二叉树个数问题（卡特兰数）

f[n]=f[2]f[n-1]+f[3]f[n-2]+...+f[n-1]f[2]=f[n-1](4*n-2)/(n+1)

\[ Catlan:f(n)=\frac\left(2*n\right)!n!*\left(n+1\right)! \]

问题三：火柴。用n(1<=n<=2000)根火柴棍能组成多少个非负整数

分析：令c[x]表示数字x需要的火柴数（0<=x<=9），用f[i]来更新f[i+c[x]]（相当于在这个数的后面加上x这个数），当i等于0的时候不允许使用数字0，而是当n>=6时，给答案单独加上1，代表整数0。

d[i+c[x]]+=d[i];

问题四：立方数之和。

输入正整数n(n<=1e4)，求将n写成若干个正整数的立方和有多少种方案。比如21有3种写法，77有22种写法，9999有440,022,018,293种写法

分析：建立多段图。设结点(i,j)表示“使用不超过i的大小的整数的立方，累加和为j”的这个状态，设d(i,j)为从(0,0)到(i,j)的路径条数，则最终的答案就是d(21,n)（因为21^3>n)
\[ d[i][j+a*i*i*i]+=d[i-1][j] \]
但是还可以再优化：
\[ d[i][j]+=d[i][j-i*i*i](类似完全背包) \]

问题五：村民排队。

村子里现在有n个人(1<=n<=40,000)个人，有多少种方式可以把他们排成一列，使得没有人站在他父亲的前面（有些人的父亲可能不在村子里面），输出总方案数模上1e9+7

问题六：带标号连通图计数。

统计有n(n<=50)个顶点的连通图有多少个。图的顶点有编号。

分析：在不考虑连通的情况的时候，这n个带标号的点共能构成
\[ h(n)=2^\fracn(n-1)2 \]
张图（若考虑任意两点之间都有边，则共有(n-1)+(n-2)+...+1=n(n-1)/2条边，而每条边都有连或者不连的选择，所以是2^(n(n-1)/2)种，我们设连通的图为f(n),未连通的图共有g(n)张，则f(n)+g(n)=h(n)。

g(n)可以这样计算：设1所在连通分量有k个点，就有C(n-1,k-1)种情况。确定点集后，1所在连通分量有f(n)种情况，而其他连通分量有h(n-k)种情况，则:
\[ g(n)=\sum_k=1^n-1C(n-1,k-1)*f(k)*h(n-k) \]
每次计算出g(n)后，应立刻计算出f(n)和h(n)。