逆元板子

Posted 2022-12-10 santiego

逆元板子

杨辉三角

杨辉三角第\(i\)行第\(j\)列（\(i\)从0开始）即为\(C_i^j\)

for(int i=0;i<=n;++i)
    C[i][0]=1;
    for(int j=1;j<=i;++j)
        C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%MOD;

快速幂逆元

由费马小定理得\(a\times a^p-2\equiv 1(mod\;p)\)（其中\(a,p\)互质且\(p\)为质数），故除\(a\)等价于乘以\(a^p-2\)，使用快速幂求出\(a^p-2\)即可

LL pow_mod(LL a, LL b, LL mo)
    LL ret = 1;
    while(b)
        if(b & 1) ret = (ret * a) % mo;
        a = (a * a) % mo;
        b >>= 1;
    
    return ret;

线性逆元

inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i)
    inv[i]=-(p/i)*inv[p%i];
    inv[i]=(inv[i]%p+p)%p;

拓展欧几里得

不同于以费马小定理为原理的快速幂，拓展欧几里得中\(p\)不需要一定为质数

void Exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) 
    if (!b) x = 1, y = 0;
    else Exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x;

int main() 
    ll x, y;
    Exgcd (a, p, x, y);
    x = (x % p + p) % p;
    printf ("%d\n", x); //x是a在mod p下的逆元