唯一分解定理入门

Posted 2022-12-09 wsy107316

唯一分解定理：每一个大于1的正整数均可分解为有限个素数的积，如果不计素因数在乘积中的次序，则分解方式是唯一的。将n的素因数分解中相同的素因子收集到一起，可只每个大于1的正整数n可唯一地写成    n = p₁^a1p₂^a2p₃^a3...p_k^ak，其中，p1，p2，p3，...，pk ，是互不相同的素数，而a1，a2，a3，...，ak 是正整数，上面的分解式称为n的标准分解。

性质：n的正约数个数，τ(n) = (1+a1)(1+a2)(1+a3)......(1+ak) ；n的正约数之和，σ(n)=(1+p1+...+p1^a1)(1+p2+...+p2^a2)...(1+pk+...+pk^ak)

 模板代码：

 1 /* */
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <cstring>
 5 #include <string>
 6 #include <cmath>
 7 #include <algorithm>
 8 using namespace std;
 9 typedef long long ll;
10 const int maxn=1e5;
11 bool is[maxn];
12 int cnt=0;
13 ll a[maxn];//存素数
14 ll ds[maxn],zs[maxn];//ds是底数,zs是指数
15 
16 void init()//打表,欧拉筛
17 
18     memset(is,true,sizeof(is));
19     is[0]=is[1]=false;
20     for(int i=2;i<maxn;i++)
21     
22         if(is[i]) a[cnt++]=i;
23         for(int j=0; i*a[j]<maxn&&j<cnt; j++)
24         
25             is[i*a[j]]=false;
26             if( i%a[j]==0 ) break;
27         
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29 
30 
31 ll fj(ll x)//不同素数的个数
32 
33     ll k=0,flag=0;
34     for(ll i=0; i<cnt; i++ )
35     
36         while(x%a[i]==0)
37         
38             if(flag==0)
39             
40                 flag=1;
41                 k++;
42             
43             x/=a[i];
44             ds[k]=a[i];
45             zs[k]++;
46         
47         if(x==1) break;
48         flag=0;
49     
50     if( x!=1 )//如果分解完x都不等于1,那么x必定是一个素数
51     
52         k++;
53         ds[k]=x;
54         zs[k]=1;
55     
56     return k;
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58 
59 int main()
60 
61     init();
62     ll x;
63     cin>>x;
64     ll k=fj(x);
65     for(ll i=1;i<=k;i++) printf("%lld^%lld%c",ds[i],zs[i],i==k?‘\n‘:‘+‘);
66     return 0;
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