两道趣题

Posted 2022-12-09 wzzyr24

好吧，估计以后会觉得这两道题很沙雕，但我现在实在太菜了……

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pro.1 给定\(n\)，求$ \sum\limits_i = 1^n \left[ \fracni \right] $，数据范围\(1 \leqslant n \leqslant 10^12\)。

首先\(O(n)\)肯定凉了，所以得找规律（又是找规律，害怕.jpg
根据 看std 手模与观察，可以发现在一段区间内的值是相等的，最明显的就是在\(\left[ \fracnn/2 \right]\)之后所有的值都是\(1\)，从这里入手，进一步发现连续为同一个值的个数为\(\left[ \fracn[n/i] \right]-i+1\)个，于是我们便可以在接近\(O(\log n)\)的复杂度内求解之。
在考场上，想到这里一般这道题就结束了，但我不禁还是要刨根问底一下，为什么是这样呢？毕竟如果每次总凭借直觉来做题是没有多大提高的。
其实（这词用得好像我一下就想出来了一样2333），在每次求得一个商\([n/i]=d\)时，我们实际上是在回答这样一个问题：“在\(n\)中有多少个\(i\)？（当然答案是\(d\)）”，但是我们要求的东西却是：“有多少个连续的\(d\)？”首先我们知道，在\(n\)中最多有\([n/d]\)个\(d\)，但是在\(i\)之前有比\(d\)更大的商，所以要把比它大的个数减去，而这个个数刚好是\(i-1\)个，于是答案便呼之欲出。

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pro.2 给定\(n\)，数列\(\ a_n\\)与区间\([minb,maxb]\)，使得方程\(\sum\limits_i = 1^n a_ix_i = b\)有非负整数解，其中\(b \in [minb,maxb]\)。数据范围：\(n \leqslant 12,a_i \leqslant 5 \times 10^5,1 \leqslant minb \leqslant maxb \leqslant 10^12\)。

这题是真的毒瘤，一开始还在想什么高斯消元和线性筛之类的东西……