HDU 2243 ( Trie图 矩阵构造幂和 )

Posted 2022-12-09 shuaihui520

题意 :  长度不超过L，只由小写字母组成的，至少包含一个词根的单词，一共可能有多少个呢？这里就不考虑单词是否有实际意义。 

比如一共有2个词根 aa 和 ab ，则可能存在104个长度不超过3的单词，分别为
(2个) aa,ab, 
(26个)aaa,aab,aac...aaz, 
(26个)aba,abb,abc...abz, 
(25个)baa,caa,daa...zaa, 
(25个)bab,cab,dab...zab。

 

分析： 我们可以用Tire图跑矩阵快速幂的方法，去求长度为n不包含给定单词的词为sum； 所以想到求：长度为n包含给定单词的词 的算法就是用总的方案数-长度为n不包含给定单词的词的方案数为26^n-sum；  这题的难点是求长度不超过L的方案数，就是说我们需要求 26-sum1+26^2-sum2+26^3-sum3......26^n-sumn = (26+26^2+...26^n)-(sum1+sum2+...sumn); 我们显然不是遍历求； 考虑优先算法：

 假设原 Trie 图构建出来的状态矩阵为 A ，那么同样的我们需要构造一个幂和即 A¹ + A² + A³ + ..... + A^L 然后最后的答案便是 ∑A^L(0, i)  ( i ∈ 1~矩阵长度 ) ，那怎么去构造这两个幂和呢？

 

 只要利用这个公式即可，用原矩阵 + 单位矩阵 + 零矩阵构造出新矩阵，最后右上角的矩阵便是幂和的矩阵

需要注意的点：（1）在求(26+26^2+...26^n)的时候不能用等比数列公式去求，这样会有误差，可以用上面构造的矩阵的方法构造

 

| 26,1 |

|0 , 1 |  的跑矩阵快速幂

(2 对于 2^64次方求模) 直接开unsigned long long 就好

 

#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<queue>
#define ULL unsigned long long
using namespace std;

const int Max_Tot = 1e2 + 10;
const int Letter  = 26;
int maxn;///矩阵的大小
char S[11];

struct mat ULL m[111][111]; unit, M;
mat operator * (mat a, mat b)
    mat ret;
    for(int i=0; i<maxn; i++)
        for(int j=0; j<maxn; j++)
            ret.m[i][j] = (ULL)0;
            for(int k=0; k<maxn; k++)
                ret.m[i][j] += a.m[i][k]*b.m[k][j];
            
        
    
    return ret;


inline void init_unit() 
    for(int i=0; i<maxn; i++)
        unit.m[i][i] = 1;


mat pow_mat(mat a, long long n)
    mat ret = unit;
    while(n)
        if(n&1) ret = ret * a;
        a = a*a;
        n >>= 1;
    
    return ret;


struct Aho
    struct StateTable
        int Next[Letter];
        int fail, flag;
    Node[Max_Tot];
    int Size;
    queue<int> que;

    inline void init()
        while(!que.empty()) que.pop();
        memset(Node[0].Next, 0, sizeof(Node[0].Next));
        Node[0].fail = Node[0].flag = 0;
        Size = 1;
    

    inline void insert(char *s)
        int now = 0;
        for(int i=0; s[i]; i++)
            int idx = s[i] - ‘a‘;
            if(!Node[now].Next[idx])
                memset(Node[Size].Next, 0, sizeof(Node[Size].Next));
                Node[Size].fail = Node[Size].flag = 0;
                Node[now].Next[idx] = Size++;
            
            now = Node[now].Next[idx];
        
        Node[now].flag = 1;
    

    inline void BuildFail()
        Node[0].fail = -1;
        for(int i=0; i<Letter; i++)
            if(Node[0].Next[i])
                Node[Node[0].Next[i]].fail = 0;
                que.push(Node[0].Next[i]);
            else Node[0].Next[i] = 0;///必定指向根节点
        
        while(!que.empty())
            int top = que.front(); que.pop();
            if(Node[Node[top].fail].flag) Node[top].flag = 1;
            for(int i=0; i<Letter; i++)
                int &v = Node[top].Next[i];
                if(v)
                    que.push(v);
                    Node[v].fail = Node[Node[top].fail].Next[i];
                else v = Node[Node[top].fail].Next[i];
            
        
    

    inline void BuildMatrix()
        for(int i=0; i<Size; i++)
            for(int j=0; j<Size; j++)
                M.m[i][j] = 0;
        for(int i=0; i<Size; i++)
            for(int j=0; j<Letter; j++)
                if(!Node[i].flag && !Node[ Node[i].Next[j] ].flag)
                    M.m[i][Node[i].Next[j]]++;
            
        
        maxn = Size;
    
ac;

ULL GetSum(long long num)
    mat ret;
    ret.m[0][0] = 26;
    ret.m[0][1] = 1;
    ret.m[1][0] = 0;
    ret.m[1][1] = 1;
    int tmp = maxn;
    maxn = 2;
    ret = pow_mat(ret, ++num);
    maxn = tmp;
    return ret.m[0][1]-1;


ULL GetElimination(long long num)
    mat tmp;
    for(int i=0; i<maxn; i++)///左上角 为 原矩阵
        for(int j=0; j<maxn; j++)
            tmp.m[i][j] = M.m[i][j];

    for(int i=0; i<maxn; i++)///右上角 为 单位矩阵
        for(int j=maxn; j<(maxn<<1); j++)
            tmp.m[i][j] = (i+maxn == j);

    for(int i=maxn; i<(maxn<<1); i++)///左下角 为 零矩阵
        for(int j=0; j<maxn; j++)
            tmp.m[i][j] = 0;

    for(int i=maxn; i<(maxn<<1); i++)///右下角 为 单位矩阵
        for(int j=maxn; j<(maxn<<1); j++)
            tmp.m[i][j] = (i==j);

    int Temp = maxn;
    maxn <<= 1;///先将原本矩阵的大小放大一倍进行快速幂运算，这个和我快速幂的写法有关
    tmp = pow_mat(tmp, ++num);
    ULL ret = (ULL)0;
    maxn = Temp;///再回复成原来大小
    for(int i=maxn; i<(maxn<<1); i++)///右上角的矩阵就是幂和了
        ret += tmp.m[0][i];

    return (--ret);///需要 -1


int main(void)

    int n, m;

    while(~scanf("%d %d", &m, &n))
        ac.init();
        for(int i=0; i<m; i++)
            scanf("%s", S);
            ac.insert(S);
        
        ac.BuildFail();
        ac.BuildMatrix();
        init_unit();
        ULL Tot = GetSum((long long)n);///注意是传long long不然会爆int
        ULL Elimination = GetElimination((long long)n);
        cout<<Tot-Elimination<<endl;
    
    return 0;

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