Codeforces Round #589 (Div. 2)-E. Another Filling the Grid-容斥定理

Posted 2022-12-09 --simon

Codeforces Round #589 (Div. 2)-E. Another Filling the Grid-容斥定理

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【Problem Description】

在\\(n\\times n\\)的格子中填入\\([1,k]\\)之间的数字，并且保证每一行至少有一个\\(1\\)，每一列至少有一个\\(1\\)，问有多少种满足条件的填充方案。

【Solution】

令\\(R[i]\\)表示为第\\(i\\)行至少有一个\\(1\\)的方案数，\\(C[i]\\)表示第\\(i\\)列至少有一个\\(1\\)的方案数。则题目要求的就是\\(\\bigcap_i=1^nR[i]\\cap C[i]\\)。由容斥定理得：
\\[ \\sum_i=0^n \\sum_j=0^n (-1)^i+j \\cdot n\\choose j \\cdot n\\choose i \\cdot k^n^2 - n \\cdot (i+j) + i \\cdot j \\cdot (k-1)^n \\cdot (i+j) - i \\cdot j \\]
表示从\\(n\\)行中，选\\(i\\)行，从\\(n\\)列中选\\(j\\)列，选出\\(n\\cdot(i+j)-i\\cdot j\\)个格子不能放\\(1\\)，这些格子有\\((k-1)^n\\cdot (i+j)-i\\cdot j\\)种放置方案，剩余的\\(n^2-n\\cdot (i+j)+i\\cdot j\\)有\\(k^n^2-n\\cdot (i+j)+i\\cdot j\\)种放置方案。

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【Code】

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef int Int;
#define int long long 
#define maxn 1005
#define INF 0x3f3f3f3f
const int mod=1e9+7;
int bit[maxn][maxn];
int fpow(int a,int b)
    int ans=1;a%=mod;
    while(b)
        if(b&1) (ans*=a)%=mod;
        (a*=a)%=mod;
        b>>=1;
    
    return ans;

Int main()
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int n,k;cin>>n>>k;
    for(int i=0;i<=n;i++) bit[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) //预处理组合数
        for(int j=1;j<=i;j++)
            bit[i][j]=(bit[i-1][j]+bit[i-1][j-1])%mod;  
        
    
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=n;i++) //直接套公式即可
        for(int j=0;j<=n;j++)
            ans+=((i+j)&1?-1:1)*bit[n][i]%mod*bit[n][j]%mod*fpow(k,n*n-n*(i+j)+i*j)%mod*fpow(k-1,n*(i+j)-i*j)%mod;
            ans%=mod;
           
    
    cout<<(ans+mod)%mod<<endl;
    return 0;