快速求出n!质因数的个数

Posted 2020-11-15 雪落无痕，雁过留声

一般做组合数的题目都要进行质因数的分解，我们一般是for循环对每个数进行质因数分解，大多数情况都不会超时，但极少数的情况下，题目会不允许这样的做法，所以我们需要学会一种更快的方法来求质因数。

我们一般的方法是对每个数进行质因数分解：

 1 inline void calc(int x)
 2 {
 3     int xx=x;
 4     for(int i=2;i*i<=xx;i++)
 5     {
 6         while(x%i==0)//不断进行除法，找出多少的当前的质数
 7         {
 8             c[i]++;x/=i;
 9         }
10         if(x==1)break;
11     }
12     if(x>1)c[x]++;//如果剩下的数也是个质数，那么这个质数也要加
13 }

但如果想要更快的分解，我们可以直接对n！进行分解：

首先先进行素数筛选，得出素数表

然后进行如下操作：

1 inline long long calc(int n,int x)//x表示想要求的质数,函数的作用是求出x的个数,n表示要求的n!(例:n=8表示8!)
2 {   long long cnt=0;
3     for(long long i=x;i<=n;i*=x)//为了防止i的溢出,所以我们要开long long
4       {cnt+=n/i;    
5             } 
6     return cnt;
7     }

我们来一个样例说明一下：

1  2  3  4  5  6  7  8         我们求得在8！中2的个数

     1      1      1      1         首先我们先计算出2的倍数的个数：8/2=4

            1              1         其次我们计算出4的倍数的个数：    8/4=2（上面一个式子求出了第一层，现在求第二层）

                            1         最后我们解出第三层的2的个数：    8/8=1

我们把4+2+1=7，所以一共7个2出现了。

 即：cnt(x)=[n/(x^1)]+[n/(x^2)]+[n/(x^3)]+...(直到x的次方大于n)

到这里我们可以发现：我们平时求的方法是一列一列求的（就是每一个数算一遍），而这个方法我们每一行每一行的求，虽然效果一样，但求起来速度很快。值得学习。

故做法：

　　1.先把素数表打好

　　2.for循环把小于n的每个质数进行一次运算，用数组记录

　　3.结束

非常快。