洛必达法则

Posted 2022-12-08 tamkery

洛必达法则

对于极限，
\[\lim\limits_\substackx\to a \\ (x\to\infty) \fracf(x)g(x)\]

对于未定式，也就是$ \frac00$, \(\frac\infty\infty\), \(\infty-\infty\), \(0\cdot\infty\), \(0^0\), \(0^\infty\), \(\infty^0\), \(1^\infty\) 等形式的极限，都可以直接或者变形后用洛必达法则进行计算。
注意：可以用等价无穷笑的先用等价无穷小代换后再计算

1. \(\frac00\) 型

例一：求极限

\[\lim\limits_\substackx\to 0 \fracx-tanx(sinx)^3\]

解：代价无穷小代换：\(sinx\sim x\)
\[\lim\limits_\substackx\to 0 \fracx-tanx(sinx)^3\]
\[=\lim\limits_\substackx\to 0 \fracx-tanx(x)^3=\lim\limits_\substackx\to 0 \frac(x-tanx)'(x^3)' =\lim\limits_\substackx\to 0 \frac1-sex^2x3x^2 \]
\[=\lim\limits_\substackx\to 0 \frac-tan^2x3x^2=\lim\limits_\substackx\to 0 \frac-x^23x^2\]
\[=-\frac13\]

---

1. $ tanx^2=secx^2-1$

2.\(tanx \sim x\)

补充：常用等价无穷小\(x\to 0\)时

---

\[sinx \sim x\]
\[tanx\sim x\]
\[1-cosx \sim \frac12x^2\]
\[arcsinx \sim x\]
\[arctanx \sim x\]
\[a^x-1 \sim xlina\]
\[e^x-1 \sim x\]

---

点乘：\cdot
\(a\cdot b\)

叉乘:\times
\(a\times b\)

除以:\div
\(a\div b\)

~在Latex表示空格，可以用\sim转义代替
\[A\sim B\]

$$A\sim B$$

例二：求极限

\[\lim\limits_\substackx \to 0 \frace^x+e^-x-2x-sinx\]

\[ \color#ea4335 =\lim\limits_\substackx\to 0 \frace^x-e^-x1-cosx(第一次使用洛必达法则)\]
\[=\lim\limits_\substackx\to 0 \frace^x-e^-x\frac12x^2(等价无穷小:1-cosx\sim \frac12x^2)\]
\[=\lim\limits_\substackx\to 0 \frace^x+e^-xx(第二次使用洛必达法则) \color#34a853 \rightarrow \color#34a853\frac20 \]
\[=\infty\]

---

2. $ \frac\infty\infty$型

例三：求

\[\lim\limits_\substackx\to +\infty \fraclnxx^\alpha,(\alpha>0)\]

解：\[=\lim\limits_\substackx\to +\infty \frac 1\overx\alpha x^\alpha-1=\lim\limits_\substackx\to +\infty \frac1 \alpha\cdot x^\alpha=0\]

\[(x\rightarrow +\infty,x^\alpha\to \infty )\]

3. \(\infty-\infty\)型

技巧：通分化简，通分，根式有理化；变量替换等方法转化为 \(\frac00\)型，或\(\frac\infty\infty\)型再计算。

例四：求

\[\lim\limits_\substackx\to \frac\pi2 (secx-tanx)\]

解：
\[\lim\limits_\substackx\to \frac\pi2 (secx-tanx)\]
\[=\lim\limits_\substackx\to \frac\pi2 (\frac1cosx-\fracsinxcosx)\]
\[=\lim\limits_\substackx\to \frac\pi2 (\frac1-sinxcosx)\]
\[=\lim\limits_\substackx\to \frac\pi2 \fraccosxsinx \to \frac01\]
\[=0\]

4. \(0 \cdot\infty\)型

转化为\(\frac00\)型，或\(\frac\infty\infty\)型

例五：求

\[\lim\limits_\substackx\to 0^+ sinxlnx\]

解：\[=\lim\limits_\substackx\to 0^+ \fraclnx1\oversinx\]
\[=\lim\limits_\substackx\to 0^+ \fraclnx1\overx=\lim\limits_\substackx\to 0^+ \frac1\overx-1\overx^2\]
\[=-\lim\limits_\substackx\to 0^+ x\]
\[=0\]

5. \(0^0,\infty^0,1^\infty\)型

利用 \(\lim f(x)^g(x）=e^\lim g(x)lnf(x)\)转化为\(0\cdot\infty\)，再转化为\(\frac00\)型或\(\frac\infty\infty\)型

例六：求

\[\lim\limits_\substackx\to 0^+ x^sinx\]

解：\[\lim\limits_\substackx\to 0^+ x^sinx=e^\lim\limits_\substackx\to 0^+ sinxln(x) \]
\[=e^o=1\]

例七：求

\[\lim\limits_\substack x\to 0^+ (1+cotx)^1\overlnx\]

解： \[=e^\lim\limits_\substack x\to 0^+ 1\overlnxln(1+cotx) \]
\[=e^\lim\limits_\substack x\to 0^+ \fracln(1+cotx)lnx =e^\lim\limits_\substack x\to 0^+ \fracln(1+cotx)'(lnx)' \]
\[=e^\lim\limits_\substack x\to 0^+ \left. (\frac-csc^2x 1+cotx) \middle / (\frac1x)\right. \]
\[=e^\lim\limits_\substack x\to 0^+ \left. -x\middle /(sin^2x+sinxcosx) \right. =e^\lim\limits_\substack x\to 0^+ \left. -x\middle /sinx(sinx+cosx) \right. \]
\[=e^\lim\limits_\substack x\to 0^+ \left. -1\middle /(sinx+cosx) \right. \]
\[=e^-1\]

Reference：

1. 高数｜洛必达法则的基础与进阶