每日一题_191003

Posted 2022-12-08 math521

在面积为\(1\)的\(\triangle ABC\)中,\(a,b,c\)为角\(A,B,C\)所对的边,则\(\dfracb^2(1+\cos A)(1+\cos C)1-\cos B\)的最小值为\(\underline\qquad\qquad.\)

解析:
法一 \(\qquad\)记所求表达式为\(M\),则由余弦定理有\[ \beginsplit M&=\dfracb^2\cdot \left(1+\dfracb^2+c^2-a^22bc\right)\cdot \left(1+\dfraca^2+b^2-c^22ab\right)1-\dfraca^2+c^2-b^22ac\ &=\dfrac12\cdot \dfrac\left[\left(b+c\right)^2-a^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\left[b^2-\left(a-c\right)^2\right]\ &=\dfrac12\left(a+b+c\right)^2\ &\geqslant 6\sqrt3. \endsplit\]
当且仅当\(\triangle ABC\)为正三角形时,上述不等式取等,因此\(M\)的最小值为\(6\sqrt3\).

法二\(\qquad\)记待求表达式为\(M\),则\[ \beginsplit M&=\dfracb^2\left(1+\cos A\right)\left(1+\cos C\right)\dfrac12bc\sin A\left(1-\cos B\right)\ &=2\cot \dfracA2\cot\dfracB2\cot\dfracC2. \endsplit\]
由于我们熟知三角恒等式\[\cot\dfracA2\cot\dfracB2\cot\dfracC2=\cot\dfracA2+\cot\dfracB2+\cot\dfracC2.\]因此\[ \cot \dfracA2\cot\dfracB2\cot\dfracC2\geqslant 3\sqrt[3]\cot \dfracA2\cot\dfracB2\cot\dfracC2 .\]因此\[M\geqslant 2\cdot 3\sqrt3=6\sqrt3.\]
当且仅当\(A=B=C=\dfrac\pi3\)时,\(M\)取得最小值\(6\sqrt3\).