线段树分治总结

Posted 2022-12-08 lnzwz

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• 类型一
  • 例题1：八纵八横
    • 代码：
  • 例题2：时空旅行

首先，要求可以离线。
线段树分治有两种。

类型一

操作基于区间，单点询问。

有时，进行的一种操作可以快速完成，但是，要实现这种操作的逆操作较难。
因为，通常情况下，需要实现的逆操作都是很久以前执行的。
但是，如果只撤销上次操作，就会简单得多。
比如，维护一些连通性，或直径，线性基等问题。
这类问题加边很好做，但删边很难实现。
我们可以扫一遍操作，得到每个操作的有效区间。
然后，将每个添加操作的有效区间按在线段树上，然后遍历这颗线段树同时处理标记即可。
从某种角度，可以理解为标记永久化。
这样，就将撤销任意一次变为只撤销上一次。（还是要撤销）
要求：用于维护的数据结构支持撤销上一操作，复杂度不能均摊（因为要撤销）
时间复杂度：比正常多一个log。

例题1：八纵八横

题目链接：[HAOI2017]八纵八横

线段树分治&线性基 模板题。

给一棵树，支持加边，删边，修改边权，并询问最大异或和的环。
类似xor和路径，询问结果就是所有环的最大异或和，使用线性基。
修改可以看做删除+插入。由于线性基不支持删除，所以使用线段树分治。
可以用并查集维护树。

代码：

#include <stdio.h> 
#include <bitset> 
#include <string.h> 
#include <vector> 
using namespace std;
int fr[503],ne[1003],v[1003],w[1003],bs = 0,len,ff[503];
bool bk[1003],ca[1003];
bitset < 1005 > bi[2003],jl[503],ji[1003],ans[1003];
void addb(int a, int b, int c) 
    v[bs] = b;
    w[bs] = c;
    ne[bs] = fr[a];
    fr[a] = bs++;

void dfs1(int u, int f) 
    for (int i = fr[u]; i != -1; i = ne[i]) 
        if (v[i] == f) continue;
        jl[v[i]] = jl[u] ^ bi[w[i]];
        dfs1(v[i], u);
    

int getv(int x) 
    if (x == ff[x]) return x;
    ff[x] = getv(ff[x]);
    return ff[x];

bool merge(int x, int y) 
    x = getv(x);
    y = getv(y);
    if (x == y) return false;
    ff[x] = y;
    return true;

void fuz(bitset < 1005 > &x, char zf[1005]) 
    x = 0;
    int n = strlen(zf);
    if (n > len) len = n;
    for (int i = 0; i < n; i++) 
        if (zf[i] == '1') x[n - 1 - i] = 1;
    

void getans(bitset < 1005 > &x) 
    x = 0;
    for (int i = len - 1; i >= 0; i--) 
        if (x[i] == 0 && bk[i]) x ^= ji[i];
    

int st[1005],tp = 0;
void insert(bitset < 1005 > x) 
    for (int i = len - 1; i >= 0; i--) 
        if (x[i]) 
            if (!bk[i]) 
                bk[i] = true;
                ji[i] = x;
                st[tp++] = i;
                break;
             else x ^= ji[i];
        
    

struct SJd 
    int x,y,z;
    SJd() 
    SJd(int X, int Y, int Z) 
        x = X;y = Y;z = Z;
    
;
vector < SJd > ve[8005];
void xiugai(int i, int l, int r, int L, int R, SJd x) 
    if (R <= l || r <= L) return;
    if (L <= l && r <= R) 
        ve[i].push_back(x);
        return;
    
    int m = (l + r) >> 1;
    xiugai(i << 1, l, m, L, R, x);
    xiugai((i << 1) | 1, m, r, L, R, x);

int wz[2003];
void dfs3(int i, int l, int r) 
    int la = tp;
    for (int j = 0; j < ve[i].size(); j++) insert(bi[ve[i][j].z] ^ jl[ve[i][j].x] ^ jl[ve[i][j].y]);
    if (l + 1 == r) 
        if (wz[l] != -1) getans(ans[wz[l]]);
     else 
        int m = (l + r) >> 1;
        dfs3(i << 1, l, m);
        dfs3((i << 1) | 1, m, r);
    
    for (int i = la; i < tp; i++) bk[st[i]] = false;
    tp = la;

char zf[1003],ch[20];
int tx[1003],ty[1003],la[1003],tm[1003];
int ll[2003],rr[2003],X[2003],Y[2003],Z[2003];
SJd xg[2003];
int main() 
    int n,m,q;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        fr[i] = -1;ff[i] = i;
    
    for (int i = 0; i < m; i++) 
        int x,y;
        scanf("%d%d%s", &x, &y, zf);
        fuz(bi[i], zf);
        if (merge(x, y)) 
            addb(x, y, i);addb(y, x, i);
         else tx[i] = x,
        ty[i] = y;
    
    dfs1(1, 0);
    int ss = 0,ks = 0,xs = 0;
    for (int i = 1; i <= q; i++) 
        scanf("%s", ch);
        if (ch[0] == 'A') 
            int x,y;
            scanf("%d%d%s", &x, &y, zf);
            ks += 1;ss += 1;
            wz[ss] = i;
            fuz(bi[m + i], zf);
            la[ks] = ss;tm[ks] = i;
            X[ks] = x;Y[ks] = y;
         else if (ch[0] == 'C' && ch[1] == 'a') 
            int k;
            scanf("%d", &k);
            ss += 1;wz[ss] = i;
            xg[xs] = SJd(X[k], Y[k], m + tm[k]);
            ll[xs] = la[k];rr[xs] = ss;
            xs += 1;
            ca[k] = true;
         else 
            int k;
            scanf("%d%s", &k, zf);
            fuz(bi[m + i], zf);
            ss += 1;wz[ss] = -1;
            xg[xs] = SJd(X[k], Y[k], m + tm[k]);
            ll[xs] = la[k];rr[xs] = ss;
            xs += 1;wz[ss] = i;
            tm[k] = i;la[k] = ss;
        
    
    for (int i = 0; i < m; i++) 
        if (tx[i]) insert(bi[i] ^ jl[tx[i]] ^ jl[ty[i]]);
    
    tp = 0;
    for (int k = 1; k <= ks; k++) 
        if (ca[k]) continue;
        xg[xs] = SJd(X[k], Y[k], m + tm[k]);
        ll[xs] = la[k];
        rr[xs] = ss + 1;
        xs += 1;
    
    for (int i = 0; i < xs; i++) xiugai(1, 0, ss + 1, ll[i], rr[i], xg[i]);
    dfs3(1, 0, ss + 1);
    for (int i = 0; i <= q; i++) 
        bool zz = false;
        for (int j = len - 1; j >= 0; j--) 
            if (ans[i][j] == 1) 
                printf("1");
                zz = true;
             else if (zz) printf("0");
        
        printf("\n");
    
    return 0;

例题2：时空旅行

题目链接：[CTSC2016]时空旅行

题意：
在一棵树上，每个节点代表一个集合，一些元素存在这个集合之中，
每个节点上的集合，是由父亲的先复制下来，然后添加或删除1个元素，成为一个新的集合。
每个元素有\((x,y,z,c)\)四个值，\((y,z)\)没用，就是两个\((x,c)\)。
每次给出树上一个点，以及一个X，要求出这个节点所有元素的\(min((X?x_i)^2+C_i)\)。
要求复杂度\(O(nlogn)\)。

首先，看到\(min((X?x_i)^2+C_i)\)，很自然想到斜率优化。
\(y_i=x_i^2+C_i,y_i=x_i,k=2X,b=y-kx,ans=b+X^2\)。
那么，相当于，每个节点的凸包，是由父亲的先复制下来，然后添加或删除1个点，成为一个新的凸包。

可以发现，这是一个版本树，遍历一下，就变成序列上的了。而且也是单点询问。