「清华集训2014」主旋律

Posted 2022-12-08 mangoyang

「清华集训2014」主旋律

这个题好难难啊，我想了一个小时连50分都不会，只能去摸周指导了。

我们试图直接爆算集合 \(S\) 的非强连通导出子图数量，考虑将这个导出子图的所有强连通分量缩点后，一定是一个点数 \(\geq 2\) 的 \(\textDAG\) 。即缩完以后至少要有一个入度为 \(0\) 的点，这个条件充分性显然，必要性考虑如果不存在入度为 \(0\) 的点，那么一定存在一个环，说明并没有将所有强连通分量缩掉。然后我们枚举入度为 \(0\) 的点集 \(T\) ，记 \(F(T,k)\) 为将 \(T\) 划分成 \(k\) 个强连通分量的方案数，\(cnt(A,B)\) 表示集合 \(A\) 向 \(B\) 连边的数量。我们可以容斥算出不合法的方案数
\[ Q(S)=\sum_T\subseteq S,T \neq \emptyset (-1)^kF(T,k)2^cnt(T,S-T)+cnt(S-T,S-T) \]
合法的方案数就是
\[ Ans(S)=2^cnt(S,S)-Q(S) \]
简单解释一下这个式子，我们不太好直接确定所有入度为 \(0\) 的点，容斥枚举其中入度为 \(0\) 的点的一个子集，它对答案的贡献就是 \((-1)^k\) 剩下的边除了 \(T\) 内部不能再连以外都可以随便连，方案数就是后面那个。

这里要用到 \(F(T,k)\) ，其实它是打酱油的。事实上我们只需要对 \(k\) 按照奇偶性讨论，维护划分成奇数/偶数个强连通分量的方案 \(f(T,0),f(T,1)\) ，维护这个东西可以通过 \(Ans\) 来转移，为了避免算重，枚举一下 \(S\) 中编号最小的点处于哪一个强连通分量
\[ Q(S)=\sum_T\subseteq S,T \neq \emptyset [f(T,1)-f(T,0)]2^cnt(T,S-T)+cnt(S-T,S-T) \f(S,0)=\sum_T \subseteq S, T \neq \emptysetf(S-T,1)\times Ans(T) \f(S,1)=\sum_T \subseteq S, T \neq \emptysetf(S-T,0)\times Ans(T) \]
这里存在一些相互转移的情况，但不难发现只有一个强连通分量时候虽然入度为 \(0\) 但是是合法方案，所以先处理 \(Ans\) 再更新 \(f\) 数组即可。

代码是膜别人的，就不贴了。