[FJOI2016]神秘数

Posted 2022-12-08 asuldb

题目

考虑暴力怎么写

首先将所有数排序，之后一个一个加入，设当前加入的数的和为\(sum\)，要加入的数为\(x\)

结论就是，如果\(x>sum+1\)，那么最小的不能表示的数就是\(sum+1\)，否则就另\(sum=sum+x\)，继续加入

正确性显然，因为当前加入的数的和为\(sum\)，所以能表示出来的数的范围在\([0,sum]\)，想要表示出\(sum+1\)，就要从这个范围内找到一个数和\(x\)相加等于\(x\)，显然这个数是\(sum+1-x\)；如果\(sum+1\)不能被表示出来，就说明\(sum+1-x\)不能在这个范围内取到，即\(sum+1-x<0\)，也就是\(x>sum+1\)

考虑优化这个暴力

我们设排序之后的前\(i\)个数的和为\(pre_i\)，\(x>sum+1\)就能表示成\(pre_i-pre_i-1>pre_i-1+1\)，也就是\(pre_i>2\times pre_i-1+1\)

设当前加入的数的和为\(sum\)，我们用一个主席树找到第一个满足大于\(2\times sum+1\)的前缀和，记为\(v\)，同时查出这个前缀和的排名

再利用主席树查一波这个排名减一的前缀和，记为\(g\)，如果满足\(2\times g+1<v\)，那么答案就是\(g+1\)；否则就另\(sum=v\)，继续查询

复杂度是\(O(m\log n\log \sum a)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize("-fcse-skip-blocks")
#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector")
#define getchar() (S==T&&(T=(S=BB)+fread(BB,1,1<<15,stdin),S==T)?EOF:*S++)
char BB[1<<18],*S=BB,*T=BB; 
inline int read() 
    char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;

const int maxn=1e5+5;
const int M=maxn*25;
int n,m,sz,a[maxn],b[maxn],rt[maxn],pre[maxn],rk,sum,g,cnt;
int l[M],r[M],d[M],s[M];
inline int find(int x) 
    int l=1,r=sz;
    while(l<=r) 
        int mid=l+r>>1;
        if(b[mid]==x) return mid;
        if(b[mid]<x) l=mid+1;else r=mid-1;
    
    return 0;

int ins(int pre,int x,int y,int pos,int v) 
    int now=++cnt;d[now]=d[pre]+v;s[now]=s[pre]+1;
    if(x==y) return now;
    l[now]=l[pre],r[now]=r[pre];
    int mid=x+y>>1;
    if(pos<=mid) l[now]=ins(l[pre],x,mid,pos,v);
    else r[now]=ins(r[pre],mid+1,y,pos,v);
    return now;

int getmin(int A,int B,int x,int y) 
    if(x==y) return b[x];
    int mid=x+y>>1;
    if(d[l[B]]-d[l[A]]) return getmin(l[A],l[B],x,mid);
    return getmin(r[A],r[B],mid+1,y); 

void query(int A,int B,int x,int y,int k) 
    if(x==y) 
        int q=k/b[x];
        if(k%b[x]) q++;q=min(q,s[B]-s[A]);
        rk+=q,sum+=q*b[x];
        return;
    
    int mid=x+y>>1;
    if(k<=d[l[B]]-d[l[A]]) query(l[A],l[B],x,mid,k);
    else 
        rk+=s[l[B]]-s[l[A]];sum+=d[l[B]]-d[l[A]];
        query(r[A],r[B],mid+1,y,k-d[l[B]]+d[l[A]]);
    

int get(int A,int B,int x,int y,int k) 
    if(x==y) return k*b[x];
    int mid=x+y>>1;
    if(k<=s[l[B]]-s[l[A]]) return get(l[A],l[B],x,mid,k);
    return d[l[B]]-d[l[A]]+get(r[A],r[B],mid+1,y,k-s[l[B]]+s[l[A]]);

int main() 
    n=read();
    for(re int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),b[i]=a[i];
    std::sort(b+1,b+n+1);sz=std::unique(b+1,b+n+1)-b-1;
    for(re int i=1;i<=n;i++) rt[i]=ins(rt[i-1],1,sz,find(a[i]),a[i]);
    for(re int i=1;i<=n;i++) pre[i]=pre[i-1]+a[i];
    m=read();int x,y,v,w;
    while(m--) 
        x=read(),y=read();v=getmin(rt[x-1],rt[y],1,sz);w=pre[y]-pre[x-1];
        if(v!=1) puts("1");continue;
        while(v<w) 
            rk=0;sum=0;query(rt[x-1],rt[y],1,sz,2*v+2);
            if(sum<=2*v+1) printf("%d\n",w+1);break;
            g=get(rt[x-1],rt[y],1,sz,rk-1);
            if(g*2+1<sum) printf("%d\n",g+1);break;
            v=sum;
        
        if(v==w) printf("%d\n",w+1);
    
    return 0;