虚树教程

Posted 2022-12-06 chy-2003

问题引入

SDOI2011消耗战

虚树

按照朴素的做法，就是对于每一个询问都跑一边DP。
\\[ Dp[i] = Dp[ i ] + \\min( Dp[Son],Cost[i,Son]) \\,\\,\\,(Son不为关键点)\\Dp[i] = Dp[ i ] + Cost[ i, Son ] \\,\\,\\,(Son为关键点)\\Dp[i] = INF\\,\\,\\,(i为叶子) \\]
这样时间上显然是不行的。我们需要优化一下。

注意到\\(\\sum k\\leqslant 500000\\)，那么可能许多点都不是关键点，而我们却浪费了许多时间在它们上面。其实删掉一个关键点，只需要断掉路径上边权最小的边即可。

这么说来，我们可以缩掉很多不是关键点的点。但是为了保持原树的形状，我们同时需要维护每两个点之间的最近公共祖先（LCA）。其实到这里就可以尝试上手了。下面提供一个可能比较优美的虚树构建方法：

首先按照所有关键点的DFS序排序。开一个 Stack ，加入根节点。

顺序遍历排好序的所有关键点，求关键点和栈顶的Lca。记栈顶元素为Top，栈顶第二个元素为 PreTop（如果有的话）。分为以下几种情况考虑：

• Deep[ Lca ] = Deep[ Top ]：那么直接把当前点加入 Stack 即可。
• Deep[ Lca ] < Deep[ Top ] : 如果Deep[ PreTop ] > Deep[ Lca ]，则在新树种加入边PreTop-Top，并且弹出栈顶元素，直到 Deep[ PreTop ] <= Deep[ Lca ]。 然后再分两种情况 ： 1）如果Deep[ PreTop ] = Deep[ Lca ]，在新树种加入PreTop-Top，弹出栈顶，然后加入当前点；2）如果Deep[ PreTop ] = Deep[ Lca ]， 在新树种加入Top-Lca，弹出栈顶，然后加入Lca和当前点。
• 最后顺序弹出栈顶，并同时加入边。

那么构造到此结束了。这样如果预处理了Lca，就可以线性构造虚树了。

开头所提的问题可以参考这里。