9.26 信息传递

Posted 2022-12-05 venividivici

题意

给定一颗无根树，树上任意两个结点之间可以传递消息。当结点\(u\)向结点\(v\)传递消息时，这条消息将会经过\(u,v\)之间的所有有向边各一次

当一条消息在传递的过程中经过有向边\(u\to v\)时，如果\(u < v\)则结点\(u,v\)的权值各\(+1\)反之则各\(-1\)

在经过若干次消息传递后，树上结点的权值发生了变化。给定所有节点最终的权值，请求出一种传递消息的方案，使得信息的总数尽量少（若有多种方案，输出字典序最小的那一种）

解法

可以发现两个很重要的性质

• 性质1：

  对于两条信息\((u,v),(v,w)\)，它们所造成的影响与信息\((u,w)\)是相同的

  也就是说，两条信息\((u,v),(v,w)\)可以合并为一条信息\((u,w)\)

  那么，在树上的所有节点，要么不参与信息的传递，要么总是信息传递的起点，要么总是信息传递的终点（若一个点既作为某个消息的终点，又作为另一个消息的起点，那么这两条消息可以进行合并）

• 性质2:

  对于两条信息\((a,b),(c,d)\)，其与信息\((a,d),(c,b)\)造成的影响是相同的

  这一点可以很容易证明，因为树上的两点之间仅有唯一的一条简单路径

  这条性质表明路径的终点互换对答案是无影响的

我们先树形DP一遍求出哪些点可以作为起点，那些点可以作为终点

在路径合并后（性质1）直接将起点集与终点集按照字典序排序后输出即可（性质2）

关于树形DP，对于每一个点，我们先把它的儿子与它之间发出的所有信息处理出来，得到这个点的新点权（相当于删除那些它与儿子之间的信息），然后再用该点来更新它的父亲（即求出它的父亲与它之间的信息发送情况）

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int read();

int n, s, t;

int cap;
int head[N], to[N << 1], nxt[N << 1];

int val[N];
int in[N], out[N], S[N], T[N];

inline void add(int x, int y) 
    to[++cap] = y, nxt[cap] = head[x], head[x] = cap;
    to[++cap] = x, nxt[cap] = head[y], head[y] = cap;   


inline int abs(int x)  return x < 0 ? -x : x; 

void DFS(int x, int fa) 
    for (int i = head[x]; i; i = nxt[i])
        if (to[i] != fa)  DFS(to[i], x);
    
    if (!val[x])  return;
    
    int v = abs(val[x]);
    if (val[x] < 0) 
        if (fa > x)  out[fa] += v, in[x] += v;  
        if (fa < x)  out[x] += v, in[fa] += v;
     else 
        if (fa > x)  out[x] += v, in[fa] += v;
        if (fa < x)  out[fa] += v, in[x] += v;
    
    
    val[fa] -= val[x];


int main() 
    
    n = read();
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)  val[i] = read();
    for (int i = 1; i < n; ++i)   add(read(), read());
    
    DFS(1, 0);
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i) 
        while (out[i] > in[i])
            --out[i], S[++s] = i;
        while (in[i] > out[i])
            --in[i],  T[++t] = i;
    
    
    sort(S + 1, S + s + 1);
    sort(T + 1, T + t + 1);
    
    printf("%d\n", s);
    for (int i = 1; i <= s; ++i)  printf("%d %d\n", S[i], T[i]);
    
    return 0;   


int read() 
    int x = 0, f = 1, c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9')    c == '-' ? f = -1, c = getchar() : c = getchar();
    while (c >= '0' && c <= '9')  x = x * 10 + c - 48, c = getchar();
    return x * f;