最大公约数和最小公倍数

Posted 2022-11-30 bylight

最大公约数

通常来说，我们使用『辗转相除法』能够快速高效地求出两个数的「最大公约数」，其实就是欧几里得算法，公式如下：

gcd(x, y) = gcd(y, x % y)
gcd(x, 0) = x

代码如下，很简单：

public long gcd(long x, long y) 
    if (y == 0) 
        return x;
    
    return gcd(y, x % y);

最小公倍数

定理：a、b 两个数的最小公倍数乘以它们的最大公约数等于 a 和 b 本身的乘积

由上述定理可知，在最大公约数的基础上我们可以轻易得到「最小公倍数」；对于 a、b 两个数，假设它们的最大公约数为 c，那么它们的最小公倍数为a*b/c，但 a*b 有时候会出现溢出的情况，因此正确的方式应该是先除后乘：a/c*b。

Java 代码实现：

// 最小公倍数
public long lcm(long x, long y) 
    return x / gcd(x, y) * y;


public long gcd(long x, long y) 
    if (y == 0) 
        return x;
    
    return gcd(y, x % y);