我写了一个 二体 模拟程序， 大伙来看看吧

Posted 2022-11-30 ksongking

项目地址 ：            https://github.com/kelin-xycs/Two-Body    ，

 

项目只有一个 文件   TwoBody.html ，   用 浏览器 打开 就可以 运行 了 。    用 Html 5 + javascript 写的， 现在的 浏览器 应该都可以运行  。

 

大家可以 修改 参数 试试 不同参数 下 的 二体 运动状况，      比如  两个 质点 的 初始位置，  初始速度，  质量，  万有引力常量 等等  。     

 

可以发现，    二体 也是 没有 周期性解 的，    这一点 和 三体 一样 。     二体 和 三体 有 一些 周期性 的 特例，  但是 大部分 情况 是  非周期性 的  。

 

不过 二体 如果 没有 相撞 也没有 形成 双星系统 的 话，  通常 会 相背而行，   各自 向 远方 飞去 。   当 时间 t 趋于 无穷 时，  两个 质点 的 速度 存在 极限，  两个 质点 的 速度 分别 趋于 各自的 极限  。    不知 这种情况 算不算 周期性 ？

 

要 形成 稳定 的 双星系统，  依赖于 下面 2 个 条件 的 任意一个 ：

1      一个 质点 的 质量 远远 大于 另一个 质点，   比如 太阳 和 地球

2      特定 的 初始条件，   比如     地球 和 月球

 

月球直径大约是地球的四分之一，质量大约是地球的八十一分之一 ，     地球 的 质量 并不  “远远大于”  月球 质量，  这种情况下，  地球 和 月球 能成为 双星系统，  需要 特定 的 初始条件 。

 

这个 二体 模拟程序 是 按 直角坐标系 + 牛顿第二定律  的 模型 写 的，     课本上的 二体解法 是 用 极坐标 + 质心系 + 约化质量 + 机械能守恒（动能势能守恒） 解 的 。

 

程序 本身 也  体现 了  二体 在 直角坐标系 + 牛顿第二定律 下 的 微积分 模型，

大家 可以 想一下，   二体 在 直角坐标系 + 牛顿第二定律 下 的 微分方程 能不能 求解，  或者说，  能不能 推导出 积分 的 代数 表达式  。

 

为什么 要 研究 二体  ？

研究 二体 的 意义 是 ，    二体 是 最基本 的 一个 动力学 问题，    研究 二体 可以 认识 数学 在 物理学 中 的 能力 和 地位 。

更简单 的 一种 二体 是 用 弹簧 把 两个 质点 连起来 ，     拉住 两个 质点，  把 弹簧 拉长 一段 距离，   松开质点，    让 质点 自由运动 。

当然 ，  质点 可以有 初始速度  。

 

弹簧 的 弹力 和 弹簧拉伸长度 成 正比，   比 万有引力 的 平方反比  简单  。       但  弹簧二体 的 微分方程 能否 求解 ？

再简化一点，    两个 质点 在 一条直线 上 运动，    弹簧 也 在 这条 直线 上，   这样 问题 就 简化为 一维 的，   微分方程 能否 求解 ？

 

如果 弹簧 上 只有一个 质点，   这就是 简谐振动，   位移 和 时间 的 函数 是一个 正弦函数，   这就是 简谐运动 的 微分方程 的 解，  也就是说，  当 弹簧 上的 质点 只有一个，  且 沿 弹簧 所在的 直线 自由运动 时，   这个 问题 的 微分方程 是 可以解出来的，   这 算是 “一体”  ？

 

但是，     当 弹簧 上 的 质点 变成 2 个，  虽然 仍然 沿 弹簧 所在的 直线 自由运动，  是 一维问题，  但此时   微分方程  从 一个方程 变成了 二个方程 的 方程组， 这个 方程组 能否 求解  ？