FHJ学长的心愿 QDUOJ 数论

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了FHJ学长的心愿 QDUOJ 数论相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

FHJ学长的心愿

原题链接,点我进去

题意

给你一个数N,让你求在\[C^0_n \ C^1_n\ C^2_n\ \dots \ C^n_n\]中有几个组合数是奇数。

解题思路

出题人CX学长给的题解:

本题实际上是考察的Lucas定理。

Lucas定理:(写程序的时候后半部分可以递归求)

\(P\)为素数,则:

\[C^m_n(\% P)=C^m\%P_n\%P?C^?m/P?_?n/P?(\%P)\]

一句话概括,就是一个组合数可以拆成\(P\)进制下的乘积,如下:(与上式本质相同)

\[n = n_k*p^k+n_k-1*p^k-1+...+n_1*p+n_0\]

\[m = m_k*p^k+m_k-1*p^k-1+...+m_1*p+m_0\]

则(上式实际上也就是把\(n,m\)分解成了\(P\)进制的形式):

\[C^m_n(\% P)=C^m_k_n_k?C^m_k-1_n_k-1*...*C^m_0_n_0(\%P)\]

\(P = 2\)的时候,其实就只有四种情况:\(,,,,,C_1^0, C_0^1, C_0^0, C_1^1\),其中只有\(C_0^1 =0\),其余都是1。

那么对于这个题,我们实际上要找的就是在\(C_n^0...C_n^n\)中有多少个 \(C_n^m\)满足\(C_n^m\%2=1\)

对于给定的\(n\),我们去考虑\(m\),如果对应\(n\)的二进制位为0,那么\(m\)对应的二进制位只能为0(因为\(C_0^1 =0\)),如果对应\(n\)的二进制位为1,那么\(m\)对应的二进制位可以为1也可以为0。(这样也保证了统计的\(m\leq n\))。

所以答案就是n的二进制中1的位置取0或1的所有可能。即\(2^cnt\)\(cnt\)\(n\)的二进制中1的个数。

这个题有人竟然通过找规律找出来的,真强。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() 
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF) 
        int cnt = 0;
        while (n) 
            if (n & 1) cnt++;
            n >>= 1;
        
        printf("%d\n", 1 << cnt);
    
    return 0;

以上是关于FHJ学长的心愿 QDUOJ 数论的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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