一些经典贪心模板

Posted 2022-11-28 cjoiershiina-mashiro

一、区间问题

1、若干个区间，选出最多的区间个数使得区间两两不交。

右端点升序排序，能选就选。

2、若干个区间，每个区间有权值，选出若干两两不交的区间，使权值和最大。

设\(f_i\)为从前往后做到\(i\)的答案，对于权值为\(w\)的区间\((l,r)\)，\(f_r=max(f_r,\max\limits_j=1^l-1(f_j)+w)\)。

3、若干个区间，选出最少的区间覆盖整个序列。

左端点升序排序，记录左端点在已覆盖区域中的最远右端点，每次覆盖的就是最长的一段前缀。

4、若干个区间，每个区间有代价，选出若干区间覆盖整个序列，使代价和最小。

设\(f_i\)为从前往后做到\(i\)的答案，对于代价为\(w\)的区间\((l,r)\)，\(f_r=min(f_r,\min\limits_j=l-1^r(f_j)+w)\)。

二、序列问题

1、LIS 最长上升子序列

法一、树状数组

设\(f_i\)为以位置\(i\)为结尾的LIS长度。则\(f_i=\max\limits_j\in[1,i)\wedge f_j<f_i()+1\)。
既可以直接离散化后树状数组。
以\(a_i\)为下标\(f\)为值即可。
如果是最长不下降的话随便改两个值就好了。
也可以将元素按\(a_i\)为第一关键字升序，\(i\)为第二关键字降序排序（为了防止同样的值更新）。
按排序后的顺序做以\(i\)为下标\(f\)为值即可。
如果是最长不下降的话第二关键字升序排序即可。

法二：贪心+二分

设\(f_i\)表示长度为\(i\)的LIS结尾的值最小为多少。显然\(f\)单调不降。
对于序列中的元素\(a_i\)，我们二分找到最后一个小于\(a_i\)的\(f_j\)，然后\(f_j+1=a_i\)即可，答案为每次找到的最大的\(j+1\)。