生成函数详解

Posted 2022-11-27 birchtree

生成函数详解

预备知识

广义二项式定理

广义二项式定理是把一般的二项式定理从整数域推广到了实数域

定义:

\[C_\alpha^k=\begincases \frac\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \dots (\alpha-k+1)k!,k>1 \\ 1,k=0 \\ 0,k<0 \endcases(k \in \mathbbZ,\alpha \in \mathbbR)\]

那么有

\[(x+y)^\alpha=\sum_k=0^\infin C_\alpha^k x^\alpha-ky^k (\alpha \in \mathbbR)\]

推论:

(1) \[(x+y)^n=\sum_k=0^n C_n^k x^n-ky^k (n \in \mathbbN^+)\]

? 证明：拆成两部分

\[ \beginaligned (x+y)^n &=\sum_k=0^\infin C_n^k x^n-ky^k \\ &=\sum_k=0^n C_n^k x^n-ky^k+ \sum_k=n+1^\infin C_n^k x^n-ky^k\endaligned\]

注意到当\(n,k \in \mathbb N\),且\(n<k\)时，\(\fracn(n-1)(n-2) \dots (n-k+1)k!\)的分子中一定有一项是0，所以\(C_n^k=0\)

那么\((x+y)^n=\sum_k=0^n C_n^k x^n-ky^k (n \in \mathbbN^+)\)

(2) \[(x+y)^-n=\sum_k=0^\infin (-1)^k C_n+k-1^n-1 x^n-ky^k (n \in \mathbbN^+)\]

证明：

\[\beginaligned C_-n^k &=\frac(-n)(-n-1)(-n-2) \dots (-n-k+1)k! \\ &= (-1)^k \fracn(n+1)(n+2) \dots (n+k-1)k! \\ &=(-1)^k C_n+k-1^k=(-1)^k C_n+k-1^n-1\endaligned\]

代入广义二项式定理的表达式,

\[(x+y)^-n=\sum_k=0^\infin(-1)^k C_n+k-1^n-1 x^n-ky^k (n \in \mathbbN^+)\]

形式幂级数

普通生成函数(OGF)

定义

常见的OGF

运用OGF推导数列通项