浅谈密码学中数论基础

Posted 2022-11-24 sylover

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了浅谈密码学中数论基础相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

1.模运算（mod)

模运算也可以称为取余运算，例如 23≡11（mod12),因此如果a=kn+b,也可以表示为a ≡ b(mod n)，运算规则：

（a+b) mod n = ((a mod n) + (b mod n))mod n

(a*b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n

完全剩余集合

1~n-1构成了自然数n的完全剩余集合，对于任意一个整数m%n都存在于1~n的集合中。

构造加法链

在加密算法中，运用到了大量的取模运算，对于一个k位数模n，所有的运算例如加减乘除中间结构将不会超过2k位，因此例如a^xmod n将会大大简化计算时的复杂度。

例如a⁸ mod n 在计算时可以这样计算 ((a² mod n)² mod n)² mod n

当指数x不是2的倍数时则需要构造加法链，例如25，25 = 16 + 8 +1 = 2⁴ + 2^{3 +}2⁰

因此a²⁵mod n = （a * a⁸* a¹⁶) mod n = ((((a²* a)²)²)²*a)mod n

C语言表示

unsigned long ss(unsigned long x , unsigned long y , unsigned long n) 
unsigned long s,t,u;
int i ;
s = 1; t =x ; u=y;
while(u)
if(u&1) s = (s*t)&n;
u>>=1;
t = (t*t) % n ;

return (s);

素数

最大公因数(gcd)

gcd(4,2)=2 gcd(4,3)=1 gcd(6,4)=2

c语言：

int gcd(int x,int y)
int m;
while(x>0)
m = x;
x = x%y;
y = m;
 
return m

模逆元

逆元：

方程 $技术图片$ 的解称为 $技术图片$ 关于模 $技术图片$ 的逆，当 $技术图片$ （即 $技术图片$ ， $技术图片$ 互质）时，方程有唯一解，否则无解。

那么逆元可以用来干什么呢，比如说对于 $技术图片$ ，并没有 $技术图片$ ，但是直接除又会爆精度，这时我们就可以用到逆元，假设用 $技术图片$ 代表 $技术图片$ $技术图片$ 的逆元，那么 $技术图片$ 。

模逆元：

4 * x ≡ 1（mod 7），即 4x = 7k + 1

更常见的问题是：1 = (a * x) mod n 也可以写作 a^-1≡ x (mod n)

因此这里存在一个解集的问题:

当gcd(a,n) = 1 , a^-1 ≡ x (mod n) 存在唯一解

当gcd(a,n) ≠ 1 a^-1 ≡ x (mod n) 无解

如何找出a%n 的逆元，利用拓展欧几里得算法

void e_gcd(int a, int b, int &gcd, int &x, int &y)

    if (b == 0)
    
        x = 1;
        y = 0;
        gcd = a;
    
    else
    
        e_gcd(b, a % b, gcd, y, x);
        y -= x * (a / b)