转主定理

Posted 2022-11-23 tyner

主定理

参考博客如标题

自己的傻b理解

对于我这种应付考试的人，可以直接代入几个特殊值...
只需要知道：
符号\\(O\\)，读音殴，表示上界，小于等于，贴紧未知。
找好特殊值
对于简单的（如：O(n), 又如下面的例题3），自己推就行

博客原文如下

先介绍几个符号的含义。

符号\\(Θ\\)，读音西塔，既是上界也是下界，等于，严格贴紧。

符号\\(O\\)，读音殴，表示上界，小于等于，贴紧未知。

符号\\(o\\)，读音也是殴，小于，不贴紧。

符号\\(Ω\\)，读音偶眯嘎，表示下界，大于等于，贴紧未知。

符号\\(ω\\)，读音也是偶眯嘎，表示下界，大于，不贴紧。

上面的“贴紧”是我根据tight翻译过来的(不是很准确啊)，大概就是是否严格等于的意思吧。

意思就是\\(Θ\\)是平均时间复杂度，\\(O\\)是最坏情况下的复杂度，\\(Ω\\)是最好情况下的复杂度。

假设我们有递推关系式：
\\(T(n)=aT(n/b)+f(n)\\)

其中，\\(n\\)为问题的规模、\\(a\\)为递推下子问题的数量，\\(n/b\\)为每个子问题的规模，\\(f(n)\\)为递推后做的额外的计算工作。

1.假设存在常数?>0 ，使得\\(f(n)=O(n^logb(a)??)\\)，则\\(T(n)=Θ(n^logba)\\)。

具体意思是f(n)的上界是n的幂次，且\\(logb(a)\\)比这个幂次要大，则时间复杂度为这个n的\\(logb(a)\\)次。

例子：二叉树的遍历。\\(T(n)=2T(n/2)+Θ(1)\\)。其中\\(a=2，b=2f(n)=1\\)，此时?=1。

\\(T(n)=Θ(n)\\)。

2.假设存在常数\\(k≥0\\)，使得\\(f(n)=Θ(n^logbalog^kn)\\)，则\\(T(n)=Θ(n^logba log^k+1n)\\)。

具体意思是f(n)是n的\\(logb(a)\\)次，再乘以一个\\(log\\)，则复杂度是\\(f(n)\\)的复杂度再乘以一个\\(log\\)。

例子：归并排序。\\(T(n)=2T(n2)+Θ(n)\\)。其中\\(a=2，b=2，f(n)=n\\)，此时k=0。

\\(T(n)=Θ(nlog2n)\\)。

例子：二分搜索（折半搜索）。\\(T(n)=T(n2)+Θ(1)\\)，其中\\(a=1，b=2，f(n)=1\\)，此时k=0，则

\\(T(n)=Θ(log2n)\\)。

3.假设存在常数?>0，有\\(f(n)=Ω(nlogb(a)+?)\\)，同时存在常数\\(c<1\\)以及充分大的n满足$ af(n/b)≤cf(n)$那么 \\(T(n)=Θ(f(n))\\)。

这个感觉没啥用啊。。。

【例题】

1【NOIP2017初赛】若某算法的计算时间表示为递推关系式：

\\(T(N)=2T(N/2)+NlogN，T(1)=1\\)，则该算法的时间复杂度为______________________________________________________。

A.\\(O(N)\\) B.\\(O(NlogN)\\) C.\\(O(NlogN)\\) D.\\(O(N^2)\\)

【解析】套用情况2中的\\(k=1\\)的情况，则\\(T(n)=Θ(NlogN)\\)，选C

2【NOIP2016初赛】若某算法的计算时间表示为递推关系式：

\\(T(N)=2T(N4)+N??√，T(1)=1\\)，则该算法的时间复杂度为______________________________________________________。

A.\\(O(N)\\) B.\\(O(√N)\\) C.\\(O(√N log2N)\\) D.\\(O(N^2)\\)?

【解析】套用情况2中的k=0的情况，则$T(n)=Θ(sqrt(N)log2 N) $，选C

3【NOIP2015初赛】某算法的计算时间表示为递推关系式：

\\(T(N)=T(N?1)+N\\) ，T(0)=1 。则该算法的时间复杂度为______________________________________________________。

A.\\(O(log22N)\\) B.\\(O(Nlog2N)\\) C.\\(O(N)\\) D.\\(O(N^2)\\)

【解析】难道这个就要用主定理了？容易推导出\\(T(N)=T(0)+1+...+n=1+N?(N+1)2\\) ，则时间复杂度为$O(N^2) $，选D

【总结】

NOIP初赛考察了3年的时间复杂度分析，其中两年用到了主定理。其实你不会主定理也没事儿，只要能找几个特殊值带入，并根据符号O的意义排除选项即可。