慈溪中学摸底测试

Posted 2022-11-23 judge

A 求组合数

首先咱一开始并没有看到 Q 的数据范围，并且子任务表格里还有一堆 none （？？？）

于是整个机房都打算阿了出题人

后来滚回来看的时候 bug 基本都修好了，于是开始挠头发（这个数据范围真是要人命啊 Q 居然可以到 2e9 ...）

但后来看到了这个 m 的范围比较小，于是估计这道题就是利用 m 比较小的性质来做的

于是列一下 \(C_n^m\) 的公式：
\[ C_n^m =n!\over m!·(n-m)! \]
并没有什么软用...然后用下降幂表示一下：
\[ C_n^m =n^\underlinem\over m! \]
说人话就是：
\[ C_n^m =n*(n-1)*···*(n-m+1)\over m*(m-1)*···*1 \]
发现上下都只有 \(m\) 项（挠头）

于是想想如果 mod 为质数怎么做： 咱可以 \(O(m)\) 得去得到这个公式上面和下面两个部分的值，然后 \(O(log ~mod)\) 蒙哥马利一下就可以得到答案了 【汗

然后咱考虑 mod 不是质数的情况，这个时候咱需要对上下两部分的 m 个数进行质因子分解，这是 \(\sqrt n\) 的复杂度，但咱可以用人类智慧优化到 \(\sqrt n\over log ~n\) ，具体康代码（好吧不就是普通的欧拉筛么）...

然后咱把上下两部分的质因子分别加起来，上面的每个质因子 \(p_i\) 的次数 \(k_i1\) 减去下面质因子的次数 \(k_i2\) ，然后每个质因子快速幂一下就好了（这个复杂度好像是 $\sqrt n ~loglog ~n $ 级别的 ）

但是咱发现太大的质因子存不下呢...那咱就把这些太大的质因子（超过 \(\sqrt n\) 的）用 map 去存就好了（复杂度大概是 \(m ~log ~m\) ...？最后遍历时候的复杂度也不高（应该...）

然后咱本地测了最大数据... T 飞上天（顿时懵逼

懵逼一会儿之后开始补救，大概就是对于 mod 是质数的情况进行了特判...少了 \(\sqrt n\over log ~n\) 的复杂度...

最后就是一边自闭一边把代码交上去准备 T 飞了...

【结果最后数据特别友好，真是气人啊，浪费感情...

// by Judge
#pragma GCC optimize("Ofast")
#include <bits/stdc++.h>
#define Rg register
#define fp(i, a, b) for (Rg int i = (a), I = (b) + 1; i < I; ++i)
#define fd(i, a, b) for (Rg int i = (a), I = (b)-1; i > I; --i)
#define ll long long
using namespace std;
const int M = 5e4 + 3;
typedef int arr[M];
#ifndef Judge
#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
#endif
char buf[1 << 21], *p1 = buf, *p2 = buf;
inline bool cmax(int& a, int b)  return a < b ? a = b, 1 : 0; 
inline bool cmin(int& a, int b)  return a > b ? a = b, 1 : 0; 
inline int read() 
    int x = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    for (; !isdigit(c); c = getchar())
        if (c == '-')
            f = -1;
    for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
    return x * f;

int n, m, mod, id1[M];
map<int, int> id2;
inline int mul(int x, int y)  return 1ll * x * y % mod; 
inline int qpow(int x, int p) 
    Rg int s = 1;
    for (; p; p >>= 1, x = mul(x, x))
        if (p & 1)
            s = mul(s, x);
    return s;

int cnt, p[M], v[M];
inline void prep(int n) 
    fp(i, 2, n) 
        if (!v[i])
            p[++cnt] = i, v[p[cnt]] = cnt;
        for (Rg int j = 1; j <= cnt && i * p[j] <= n; ++j) 
            v[i * p[j]] = 1;
            if (!(i % p[j]))
                break;
        
    

inline void add(int x, int V) 
    fp(i, 1, cnt) 
        if (p[i] * p[i] > x)
            break;
        while (!(x % p[i])) id1[i] += V, x /= p[i];
    
    if (x > 1) 
        if (x > p[cnt])
            id2[x] += V;
        else
            id1[v[x]] += V;
    

#define IT map<int, int>::iterator
inline int solv() 
    Rg int ans = 1;
    fp(i, 1, cnt) if (id1[i]) ans = mul(ans, qpow(p[i], id1[i]));
    for (IT it = id2.begin(); it != id2.end(); ++it) ans = mul(ans, qpow(it->first, it->second));
    return ans;

inline bool isprime(int x) 
    fp(i, 1, cnt) 
        if (p[i] * p[i] > x)
            return 1;
        if (!(x % p[i]))
            return 0;
    
    return 1;

inline void solv0() 
    Rg int p = 1, q = 1;
    fp(i, 1, m) p = mul(p, n - i + 1), q = mul(q, i);
    printf("%d\n", mul(p, qpow(q, mod - 2)));

int main() 
    int T = read();
    prep(5e4);
    while (T--) 
        n = read(), m = read(), mod = read();
        if (isprime(mod)) 
            solv0();
            continue;
        
        memset(id1, 0, sizeof id1), id2.clear();
        fp(i, 1, m) add(n - i + 1, 1), add(i, -1);
        printf("%d\n", solv());
    
    return 0;

B 铺地板

比赛的时候咱可是放过话的：“网络流这种东西 CSP 怎么可能会考，你见过 NOIP 考过 wll 么？他要敢考咱就敢爆零！” 于是咱并没有黑白染色冷静一下并且华丽爆炸...

到时候补一下吧....

C 军训队列

一开始以为是斜优 dp 想着这出题人也是够毒瘤（虽说也不算太超纲...吧？），结果一看数据范围 500 ， \(n^3\) 喜 dp （斜优 × 暴力 √ ）

// by Judge
#pragma GCC optimize("Ofast")
#include <bits/stdc++.h>
#define Rg register
#define fp(i, a, b) for (Rg int i = (a), I = (b) + 1; i < I; ++i)
#define fd(i, a, b) for (Rg int i = (a), I = (b)-1; i > I; --i)
#define ll long long
using namespace std;
const int M = 503;
typedef int arr[M];
#ifndef Judge
#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
#endif
char buf[1 << 21], *p1 = buf, *p2 = buf;
inline int read() 
    int x = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    for (; !isdigit(c); c = getchar())
        if (c == '-')
            f = -1;
    for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
    return x * f;

int n, K, a[M], f[M][M];
inline int Min(int x, int y)  return x < y ? x : y; 
int main() 
    n = read(), K = read();
    if (K >= n)
        return !printf("0\n");
    fp(i, 1, n) a[i] = read();
    sort(a + 1, a + 1 + n), memset(f, 0x3f, sizeof f), f[0][0] = 0;
    fp(i, 1, n) fp(j, 1, Min(i, K)) fp(k, 0, i - 1) f[i][j] =
        Min(f[i][j], f[k][j - 1] + (a[i] - a[k + 1]) * (a[i] - a[k + 1]));
    return !printf("%d\n", f[n][K]);