概率dp poj2096

Posted 2022-11-18 pangbi

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 2     dp求期望的题。
 3     题意：一个软件有s个子系统，会产生n种bug。
 4     某人一天发现一个bug，这个bug属于某种bug，发生在某个子系统中。
 5     求找到所有的n种bug，且每个子系统都找到bug，这样所要的天数的期望。
 6     需要注意的是：bug的数量是无穷大的，所以发现一个bug，出现在某个子系统的概率是1/s，
 7     属于某种类型的概率是1/n。
 8     解法：
 9     dp[i][j]表示已经找到i种bug，并存在于j个子系统中，要达到目标状态的天数的期望。
10     显然，dp[n][s]=0，因为已经达到目标了。而dp[0][0]就是我们要求的答案。
11     dp[i][j]状态可以转化成以下四种：
12         dp[i][j]    发现一个bug属于已经找到的i种bug和j个子系统中
13         dp[i+1][j]  发现一个bug属于新的一种bug，但属于已经找到的j种子系统
14         dp[i][j+1]  发现一个bug属于已经找到的i种bug，但属于新的子系统
15         dp[i+1][j+1]发现一个bug属于新的一种bug和新的一个子系统
16     以上四种的概率分别为：
17     p1 =     i*j / (n*s)
18     p2 = (n-i)*j / (n*s)
19     p3 = i*(s-j) / (n*s)
20     p4 = (n-i)*(s-j) / (n*s)
21     又有：期望可以分解成多个子期望的加权和，权为子期望发生的概率，即 E(aA+bB+...) = aE(A) + bE(B) +...
22     所以：
23     dp[i,j] = p1*dp[i,j] + p2*dp[i+1,j] + p3*dp[i,j+1] + p4*dp[i+1,j+1] + 1;
24     整理得：
25     dp[i,j] = ( 1 + p2*dp[i+1,j] + p3*dp[i,j+1] + p4*dp[i+1,j+1] )/( 1-p1 )
26             = ( n*s + (n-i)*j*dp[i+1,j] + i*(s-j)*dp[i,j+1] + (n-i)*(s-j)*dp[i+1,j+1] )/( n*s - i*j )
27 **/
28 #include <cstdio>
29 #include <iostream>
30  
31 using namespace std;
32  
33 double dp[1005][1005];
34  
35 int main()
36 
37     int n, s, ns;
38  
39     cin >> n >> s;
40     ns = n*s;
41     dp[n][s] = 0.0;
42     for (int i = n; i >= 0; i--)
43         for (int j = s; j >= 0; j--)
44         
45             if ( i == n && j == s ) continue;
46             dp[i][j] = ( ns + (n-i)*j*dp[i+1][j] + i*(s-j)*dp[i][j+1] + (n-i)*(s-j)*dp[i+1][j+1] )/( ns - i*j );
47         
48     printf("%.4lf\n", dp[0][0]);
49  
50     return 0;
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