「刷题」Triple

Posted 2022-11-18 lrefrain

正解是指数型母函数+FFT。

才学了多项式，做了一道比较好的题了。

首先有三个斧子被偷了。

我们考虑构造一种指数型母函数。

就是说一种多项式吧，我的理解。

系数是方案，下标，也就是所谓的元指数代表的是价值。

这样如果两个母函数相乘的话，指数相加，系数相乘。

正好就是两个单元合并之后的方案和价值。

$A(x),B(x),C(x)$分别代表一把相同的斧子用价值为x，2把为x，3把为x的方案数。

容斥一下。

三把的答案就是$A(x)*A(x)*A(x)-C_3^1A(x)B(x)+2C(x)$

解释一下，三把相乘得到每把斧子有三把的方案，但是每个只有一把，所以减掉有两把相同的，但是不知道是哪两把，所以乘$C_3^1$，最后发现两把相同的也包含三把相同的但是减掉了三次，而应当减一次，所以加回来两次。

要除以6，因为默认了有第一把第二把和第三把。

两把的话就是$A(x)*A(x)*-B(x)$要除以2。

同样简单的容斥即可。

一把就是$A(x)$了。

然后$FFT$乘一下就行了。

还没搞懂$NTT$。

猜测一下$NTT$的原理应该是和$FFT$一样的。

只不过是用了两个不同的群吧。

$FFT$用的是复数群，群运算是复数的$+-*/$。

$NTT$用的是$Z_p$也就是同余系，群运算是整数的$+-*/ mod $。

能够相通是因为对于复数群的$n$次单位根$w_n^1$，$Z_p$中有具有相同性质的原根$g$。

我猜。。。