每日一题_190922

Posted 2022-11-18 math521

对操场上编号为 \(1\sim 100\)，全部面向主席台的学生依次进行以下操练：凡是编号为\(1\)的倍数的学生向后转一次；凡编号为 \(2\)的倍数的学生再向后转一次；凡编号为\(3\)的倍数的学生再向后转一次；\(\cdots\)；凡编号是\(100\)的倍数的学生再向后转一次．经过这\(100\)轮操作后，最后面向主席台的学生个数为\((\qquad)\)
$\mathrmA. \quad9\quad $ \(\mathrmB. 91\quad\) \(\mathrmC. 10\) \(\quad\mathrmD. 90\)
解析:
(1) 若某个同学向后转的次数为奇数，则该同学最终背向主席台，若该同学向后转的次数为偶数，则最终面向主席台．
(2) 每个同学向后转的次数与其编号的正约数的个数有关．
(3) 若学生的编号为完全平方数，则该数的正约数的个数为奇数，若编号不是完全平方数，则其正约数的个数为偶数．
综上三条考虑，最后背向主席台的学生个数即\(1\sim 100\)内的完全平方数的个数，即\(10\)，所以最终面向主席台的学生个数为\(90\)．