strGame:博弈论，trie

Posted 2022-11-18 hzoi-deepinc

挺有意思的一道题。初探博弈论。

最好自己思考？

我们先考虑只有1轮游戏的情况。

这题明显要在字符串上一位一位地走，所以对字符串建立起trie。

最终建立起的trie的叶节点就是必败位置了。

对于非叶节点，如果它有一个儿子是必败节点，那么这个节点就是必胜节点了。（类似与mex函数）

那么如果根节点必胜，那么就是先手必胜，否则就是后手必胜了。

如果最后一轮后手必胜，那么两个人就需要争夺最后一轮的后手，所以他们要赢倒数第二轮。

而倒数第二轮和最后一轮是一样的，那么倒数第二轮也是后手必胜。倒数第二轮的后手整场游戏也必胜。

以此类推到倒数第三轮，倒数第四轮。。。直到第一轮，都一样。

所以，如果某一轮中后手必胜，那么整场游戏Dirty必胜。

剩下的情况就是先手必胜，那么就是要争夺先手，那么就要尽量输掉倒数第二轮。

如何判定先手能否必定让自己输掉一轮游戏？

只要把trie树的叶节点改为必胜节点就好了，再跑一遍。

那么如果先手可以必定让自己输掉一轮游戏，也能必定让自己赢一轮游戏。

那么除了最后一轮以外他都可以让自己输掉以取得先手，直到最后一轮让自己取胜。

所以，如果某一轮中先手必胜，先手在相反游戏中也必胜（即可以让自己必定输掉），那么正常游戏Pure必胜。

剩下的就是先手在一轮游戏中必胜，但是不能在相反游戏中取胜（即自己不能必定输掉）。

最后一轮是先手必胜。

倒数第二轮中要争夺最后一轮的先手，故要输掉，所以倒数第二轮中的后手在整场游戏中必胜。

倒数第三轮中要争夺倒数第二轮的后手，要赢，所以倒数第三轮的先手在整场游戏中必胜。

以此类推。。。

所以，如果一轮游戏先手必胜，而相反游戏后手必胜（即先手不能让自己输掉），总轮数为奇数时，先手必胜。否则，后手必胜。

好题。

自己思考酣畅淋漓（数学自习灵感++）

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 using namespace std;
 4 int k,trie[100005][27],w[2][100005],cnt,n,rt,len;char s[100005];
 5 void insert(int &p,int al)
 6     if(!p)p=++cnt;if(al==len)return;
 7     insert(trie[p][s[al]-‘a‘],al+1);
 8 
 9 void dfs(int p)
10     int hs=0;w[0][p]=w[1][p]=0;
11     for(int i=0;i<=25;++i)if(trie[p][i])hs=1;break;
12     if(!hs)w[0][p]=1;w[1][p]=0;return;
13     for(int i=0;i<=25;++i)if(trie[p][i])
14         dfs(trie[p][i]);
15         if(!w[0][trie[p][i]])w[0][p]=1;
16         if(!w[1][trie[p][i]])w[1][p]=1;
17     
18 
19 int main()
20     int t;scanf("%d",&t);
21     while(t--)
22         scanf("%d%d",&n,&k);rt=cnt=0;memset(trie,0,sizeof trie);
23         for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%s",s),len=strlen(s),insert(rt,0);
24         dfs(rt);//for(int i=1;i<=cnt;++i)printf("%d %d\n",w[0][i],w[1][i]);
25         if(!w[1][rt])puts("Dirty");
26         else if(w[0][rt])puts("Pure");
27         else if(k&1)puts("Pure");
28         else puts("Dirty");
29     
30 

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