Codeforces 1221D - Make The Fence Great Again(DP)

Posted 2022-11-16 f-mu

题意：对于n个栅栏，对于每个\(i\)，有高度\(a[i]\)，对于任意\(2<=i<=n\),有\(a[i]!=a[i-1]\)，则称该组栅栏为好栅栏，每个栅栏可花费\(b[i]\)提升\(1\)个高度（可无限提升）。给一组栅栏，问最少花费多少可以将这组栅栏变为好栅栏。
分析：对于第\(i\)个栅栏，他要保证不与第\(i-1\)和\(i+1\)个栅栏相同，最多提升\(2\)，如果提升\(2\)与第\(i-1\)或\(i+1\)相同，则可选择提升\(0\)或\(1\),同理如果此时与另一侧栅栏相同，则可提升\(0\)或\(1\)使该栅栏与两侧栅栏不同。题意给出其实提醒了\(DP\)（说\(a[i]!=a[i-1]\)）。我们设置\(DP[i][j]\)表示对于第\(i\)个栅栏，提升\(j\)后，使得前\(i\)个栅栏为好栅栏，\(0<=j<=2\)。
（1）对于\(a[i]==a[i-1]\)的情况
如果第\(i\)个栅栏提升\(0\)，则第\(i-1\)个栅栏需提升\(1\)或者\(2\)，那么有
\[dp[i][0] = min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]\]如果第\(i\)个栅栏提升\(1\)，则第\(i-1\)个栅栏需提升\(0\)或者\(2\)，那么有
\[dp[i][1] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]) + b[i]\]如果第\(i\)个栅栏提升\(2\)，则第\(i-1\)个栅栏需提升\(0\)或者\(1\)，那么有
\[dp[i][2] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]) + b[i] * 2\]
（2）对于\(a[i]==a[i-1]+1\)的情况
如果第\(i\)个栅栏提升\(0\)，则第\(i-1\)个栅栏需提升\(0\)或者\(2\)，那么有
\[dp[i][0] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2])\]如果第\(i\)个栅栏提升\(1\)，则第\(i-1\)个栅栏需提升\(0\)或者\(1\)，那么有
\[dp[i][1] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]) + b[i]\]如果第\(i\)个栅栏提升\(2\)，则第\(i-1\)个栅栏需提升\(0\)或者\(1\)或者\(2\)，那么有
\[dp[i][2] = min(dp[i - 1][0], min(dp[i - 1][1],dp[i-1][2])) + b[i] * 2\]
（3）对于\(a[i]==a[i-1]+2\)的情况
如果第\(i\)个栅栏提升\(0\)，则第\(i-1\)个栅栏需提升\(0\)或者\(1\)，那么有
\[dp[i][0] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1])\]如果第\(i\)个栅栏提升\(1\)，则第\(i-1\)个栅栏需提升\(0\)或者\(1\)或者\(2\)，那么有
\[dp[i][1] = min(dp[i - 1][0], min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2])) + b[i]\]如果第\(i\)个栅栏提升\(2\)，则第\(i-1\)个栅栏需提升\(0\)或者\(1\)或者\(2\)，那么有
\[dp[i][2] = min(dp[i - 1][0], min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2])) + b[i] * 2\]
（4）对于\(a[i]==a[i-1]-1\)的情况
如果第\(i\)个栅栏提升\(0\)，则第\(i-1\)个栅栏需提升\(0\)或者\(1\)或者\(2\)，那么有
\[dp[i][0] = min(dp[i - 1][0], min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]))\]如果第\(i\)个栅栏提升\(1\)，则第\(i-1\)个栅栏需提升\(1\)或者\(2\)，那么有
\[dp[i][1] = min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]) + b[i]\]如果第\(i\)个栅栏提升\(2\)，则第\(i-1\)个栅栏需提升\(0\)或者\(2\)，那么有
\[dp[i][2] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]) + b[i] * 2\]
（5）对于\(a[i]==a[i-1]-2\)的情况
如果第\(i\)个栅栏提升\(0\)，则第\(i-1\)个栅栏需提升\(0\)或者\(1\)或者\(2\)，那么有
\[dp[i][0] = min(dp[i - 1][0], min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]))\]如果第\(i\)个栅栏提升\(1\)，则第\(i-1\)个栅栏需提升\(0\)或者\(1\)或者\(2\)，那么有
\[dp[i][1] = min(dp[i - 1][0], min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2])) + b[i]\]如果第\(i\)个栅栏提升\(2\)，则第\(i-1\)个栅栏需提升\(1\)或者\(2\)，那么有
\[dp[i][2] = min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]) + b[i] * 2\]
（6）其他情况
第\(i\)个栅栏提升\(0,1,2\)，第\(i-1\)个栅栏可提升\(0\)或者\(1\)或者\(2\)，有
\[dp[i][0] = min(dp[i - 1][0], min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]))\]\[dp[i][1] = min(dp[i - 1][0], min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2])) + b[i]\]\[dp[i][2] = min(dp[i - 1][0], min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2])) + b[i] * 2\]
最后输出\(min(dp[n][0], min(dp[n][1], dp[n][2]))\)即可

#pragma GCC optimize(3, "Ofast", "inline")

#include <bits/stdc++.h>

#define start ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define ll long long
#define int ll
#define ls st<<1
#define rs st<<1|1
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
const int maxn = (ll) 3e5 + 5;
const int mod = 1000000007;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int dp[maxn][3];
int a[maxn], b[maxn];

signed main() 
    start;
    int q;
    cin >> q;
    while (q--) 
        int n;
        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) 
            cin >> a[i] >> b[i];
            dp[i][0] = dp[i][1] = (ll) (1e18) + 5;//千万不能用memset
        
        /*初始化*/
        dp[1][0] = 0;
        dp[1][1] = b[1];
        dp[1][2] = b[1] * 2;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) 
            if (a[i] == a[i - 1]) 
                dp[i][0] = min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]);
                dp[i][1] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]) + b[i];
                dp[i][2] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]) + b[i] * 2;
             else if (a[i] == a[i - 1] + 1) 
                dp[i][0] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]);
                dp[i][1] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]) + b[i];
                dp[i][2] = min(dp[i - 1][0], min(dp[i - 1][1],dp[i-1][2])) + b[i] * 2;
             else if (a[i] == a[i - 1] + 2) 
                dp[i][0] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]);
                dp[i][1] = min(dp[i - 1][0], min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2])) + b[i];
                dp[i][2] = min(dp[i - 1][0], min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2])) + b[i] * 2;
             else if (a[i] == a[i - 1] - 1) 
                dp[i][0] = min(dp[i - 1][0], min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]));
                dp[i][1] = min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]) + b[i];
                dp[i][2] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]) + b[i] * 2;
             else if (a[i] == a[i - 1] - 2) 
                dp[i][0] = min(dp[i - 1][0], min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]));
                dp[i][1] = min(dp[i - 1][0], min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2])) + b[i];
                dp[i][2] = min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]) + b[i] * 2;
             else 
                dp[i][0] = min(dp[i - 1][0], min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]));
                dp[i][1] = min(dp[i - 1][0], min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2])) + b[i];
                dp[i][2] = min(dp[i - 1][0], min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2])) + b[i] * 2;
            
        
        cout << min(dp[n][0], min(dp[n][1], dp[n][2])) << '\n';
    
    return 0;

（这题我竟然和一个吉尔吉斯斯坦的小姐姐代码撞了，被判重然后unrated，哭了）
（萌新的第一篇Latex题解）