模拟测试47

Posted 2022-11-14 hz-rockstar

T1:

　　题意：
　　　　有交替的N个黑白段，长度给定，一个人脚长S，步长K，可以从任意一点出发，问是否有一种方案，能够从第一个块之前走到最后一个块以后，并且脚不碰到任何一个黑色段。

　　题解：

　　　　我们可以将该问题在模意义下解决。

　　　　将每个黑色段的区间求出，左侧缩一的长度，右侧延伸脚长减一，这样将脚变成了一个点。

　　　　如果某个黑色段的长度大于K，那么一定无解。将所有的黑色段左右端点取模，特判黑色段被劈成两段的情况。

　　　　然后得到了一些区间，问题转化为0～K-1是否被全部覆盖，排序后单调指针扫一遍即可。

　　　　时间复杂度$O(Nlog_2N)$。

T2:

　　题意：

　　　　求子树内数量最多的元素及其数量。

　　题解：

　　　　模板题。

　　　　线段树合并，启发式合并，DFS序，分治均可。

　　　　时间复杂度$O(Nlog_2N)$。
T3：

　　题意：

　　　　给定一个字符串，最小化一个0/1串，使得它们拥有相同的t集合。t为字符串的循环节。

　　题解：

　　　　求出所有循环节可以用KMP，串长减所有next即为t的取值集合。

　　　　求出集合后考虑构造。

　　　　从小到大枚举next的长度，不断构造长度等于next的0/1串。

　　　　每次对于相邻的next，如果next[i-1]*2>=next[i]，那么将当前串的后缀复制到后面。

　　　　若next[i-1]*2<next[i]，那么将后缀复制到最后，再在中间填0，如果不匹配，则将最后一个0改为1。

　　　　证明：

　　　　　　因为1和0是等效的可以互换，所以第一位一定为零。

　　　　　　每次构造时，保证当前构造出的串是可行方案中字典序最小的。

　　　　　　next的含义为总长度减去每个循环节的长度，所以每次构造出的串是循环节的一部分。

　　　　　　根据next数组的含义，每次构造出的串要含有相同的前后缀。

　　　　　　当next[i-1]*2>=next[i]，那么原串中前后缀重叠，根据next数组的性质补全既可。

　　　　　　当next[i-1]*2<next[i]，先补全当前串，使得其满足next数组的性质，再考虑在中间添加数字。

　　　　　　为了使字典序最小，添加的数字要尽可能为0，若破坏了next数组，则将最后一位改为1。

　　　　时间复杂度$O(N)$。