@codeforces - 1214F@ Employment

Posted 2022-11-13 tiw-air-oao

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• @description@
• @solution@
• @accepted code@
• @details@

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@description@

有 m 个城市围成一个圆环，编号为 1~m。
某公司有 n 个职员住在 m 个城市，依次住在编号为 a1, a2, ..., an 的城市（可能住在同一城市）。且该公司有 n 个工作场所，依次在 b1, b2, ..., bn（一样可以在同一城市）。
现在要将职员与城市一一匹配，使得每个职员的居所与工作场所距离之和最小，并输出方案。

Input
第一行两个整数 m, n（1 <= m <= 10^9, 1 <= n <= 200000），表示圆环上的城市个数以及职员个数。
第二行 n 个整数 a1, a2, ..., an（1 <= ai <= m），表示职员居住的城市编号
第三行 n 个整数 b1, b2, ..., bn（1 <= bi <= m），表示工作场所所在的城市编号。

Output
第一行输出最小距离总和。
第二行输出匹配方案，第 i 个数表示第 i 个职员工作的场所编号。

Examples
Input
10 3
1 5 5
10 4 6
Output
3
1 2 3

Input
10 3
1 4 8
8 3 6
Output
4
2 3 1

Note
第一个样例中，1 - 10, 5 - 4, 5 - 6 的距离都为 1。
第二个样例中，1 - 3, 4 - 6, 8 - 8 的距离分别为 2, 2, 0。

@solution@

巧妙地见过类似的原题。。。
然而我在考场上还是没有做出来，真是丢人。

先将 a, b 排好序。
首先将 bi 扩张成三倍，分别为 bi - m, bi, bi + m。则 ai 与 bj 之间在圆环上的距离肯定为 ai 到 bj - m, bj, bj + m 之中的某一个的数轴上的距离。
记这个扩张过后的 b 为 b‘。

假如一个方案中 ai 匹配 bx，aj 匹配 by，且 ai < aj, bx > by（即匹配出现交叉），则交换匹配变成 ai 匹配 by，aj 匹配 bx 会更优（分类讨论众多情况即可验证）。
同时还可以在原先的圆环上验证一个结论：如果 a1 匹配 b[x]，则 a2 应依次匹配 b[x+1]，a3 匹配 b[x+2]，...。

贪心地得到了这两个结论后，我们最终有效的方案只有 2*n + 1 种。只要能有效地维护出每种方案的距离总和就可以解决这道题。
定义 ans[i] 表示 a1 匹配 i 的距离总和。

两个点 i, j 的距离定义为 |i - j|，其中 i >= j 时为 i - j，否则为 j - i。
一开始 a1 匹配 b1，匹配的点对之间距离总为 ai - bi。将 a1 对应的匹配往后移动时，ai - bj 就将变为 bj - ai。
于是对于每一个 ai，对一开始某个连续的区间的贡献为 +ai，对后面某个连续的区间的贡献为 -ai；bi 对一开始某个连续的区间的贡献 -bi，对后面某个连续的区间的贡献为 +bi。
找出那个变化的点（即 b[j] <= a[i] < b[j+1]），做一个差分即可。

@accepted code@

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 200000;
const ll INF = (1LL<<60);
struct node
    int pos; ll key;
    friend bool operator < (node a, node b) 
        return a.key < b.key;
    
a[MAXN + 5], b[3*MAXN + 5];
ll sum[3*MAXN + 5];
int res[MAXN + 5];
int n; ll m;
int main() 
    scanf("%lld%d", &m, &n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d", &a[i].key), a[i].pos = i;
    sort(a + 1, a + n + 1);
    a[n + 1].key = INF;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d", &b[i].key), b[i].pos = i;
    sort(b + 1, b + n + 1);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        b[2*n + i] = b[n + i] = b[i];
        b[i].key -= m, b[2*n + i].key += m;
    
    int p = 1;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        while( b[p].key <= a[i].key ) p++;
        sum[0] += a[i].key;
        if( p - i + 1 <= 2*n + 1 )
            sum[p - i + 1] -= 2*a[i].key;
    
    p = 1;
    for(int i=1;i<=3*n;i++) 
        while( a[p].key < b[i].key ) p++;
        sum[max(0, i - n + 1)] -= b[i].key;
        if( i - p + 2 <= 2*n + 1 )
            sum[i - p + 2] += 2*b[i].key;
        sum[min(i + 1, 2*n + 2)] -= b[i].key;
    
    int ans = 1;
    for(int i=1;i<=2*n+1;i++) 
        sum[i] += sum[i-1];
        if( sum[i] < sum[ans] )
            ans = i;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        res[a[i].pos] = b[ans+i-1].pos;
    printf("%lld\n", sum[ans]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ", res[i]);

@details@

当时在网上随便找了一个题解，改改改写写写结果怎样都过不了。

后来自己一写就过了 =_=。