图解:平衡二叉树,AVL树

Posted 2022-11-12 alan-blog-tsinghua

　　学习过了二叉查找树，想必大家有遇到一个问题。例如，将一个数组1,2,3,4依次插入树的时候，形成了图1的情况。有建立树与没建立树对于数据的增删查改已经没有了任何帮助，反而增添了维护的成本。而只有建立的树如图2，才能够最大地体现二叉树的优点。

                         

　　在上述的例子中，图2就是一棵平衡二叉树。科学家们提出平衡二叉树，就是为了让树的查找性能得到最大的体现（至少我是这样理解的，欢迎批评改正）。下面进入今天的正题，平衡二叉树。

AVL的定义

　　平衡二叉查找树：简称平衡二叉树。由前苏联的数学家Adelse-Velskil和Landis在1962年提出的高度平衡的二叉树，根据科学家的英文名也称为AVL树。它具有如下几个性质：

1. 可以是空树。
2. 假如不是空树，任何一个结点的左子树与右子树都是平衡二叉树，并且高度之差的绝对值不超过1

　　平衡之意，如天平，即两边的分量大约相同。如定义，假如一棵树的左右子树的高度之差超过1，如左子树的树高为2，右子树的树高为0，子树树高差的绝对值为2就打破了这个平衡。如依次插入1，2，3三个结点（如下图）后，根结点的右子树树高减去左子树树高为2，树就失去了平衡。

               

　　那么在建立树的过程中，我们如何知道左右子树的高度差呢？在这里我们采用了平衡因子进行记录。

　　平衡因子：左子树的高度减去右子树的高度。由平衡二叉树的定义可知，平衡因子的取值只可能为0,1,-1.分别对应着左右子树等高，左子树比较高，右子树比较高。如下图

　　 

　　说到这里，我们已经可以大概知道平衡二叉树的结构定义需要什么内容了，数据成员，平衡因子，以及左右分支。所以，我们给出如下的结构定义。大家主要首先先了解平衡因子的各个取值及其含义即可。

typedef char KeyType;                   //关键字

typedef struct MyRcdType            //记录

    KeyType key;

RcdType,*RcdArr;

typedef enum MyBFStatus                //为了方便平衡因子的赋值，这里进行枚举

                           //RH,EH,LH分别表示右子树较高，左右子树等高，左子树较高

    RH,EH,LH

BFStatus;

typedef struct MyBBSTNode       //树结点类型定义

    RcdType data;                             //数据成员

    BFStatus bf;                                 //平衡因子

    struct MyBBSTNode *lchild,*rchild;        //左右分支

BBSTNode,*BBSTree;

AVL树的插入时的失衡与调整

前言：这部分的失衡调整是指插入时的失衡与调整。删除的失衡与调整与插入大致一样，但是还是有很多不同，在后续章节讲解。

一、 失衡与调整的引导

　　说了这么久，我们开始进入今天的重点，如何将一棵不平衡的二叉树变成平衡二叉树（只讨论不平衡的是因为假如树是平衡的就不必我们进行处理）。平衡二叉树的失衡调整主要是通过旋转最小失衡子树来实现的。

　　最小失衡子树：在新插入的结点向上查找，以第一个平衡因子的绝对值超过1的结点为根的子树称为最小不平衡子树。也就是说，一棵失衡的树，是有可能有多棵子树同时失衡的，如下。而这个时候，我们只要调整最小的不平衡子树，就能够将不平衡的树调整为平衡的树。

　　在图7中。2结点（左子树树高-右子树树高）的绝对值=2。同理，3结点的平衡因子也为2.此时同时存在了两棵不平衡子树，而以3为根的树是最小的不平衡子树。我们只要将其以3为中心，将最小不平衡树向左旋转，即可得到平衡二叉树，如图8。具体方法后续讲解。

           

下面我们先用两个简单的例子来感受一下调整的方法。

例1：右子树过高，向左旋转。步骤如下

       i. 将2作为根结点

      ii. 将1作为2的左孩子

     iii. 将2的左孩子作为1的右孩子（维护树的有序性，只是此处为NULL而已）

              

例2：左子树过高，向右旋转。步骤如下

       i.   将2作为根结点

      ii.   将3作为2的右孩子

     iii.   将2的右孩子作为3的左孩子（维护树的有序性，只是此处为NULL而已）

         

下面我们再来看一个通过旋转，但是没办法达到平衡的失败例子。

例3：右子树过高，向左旋转。步骤如下

      i.   将3作为根结点

     ii.   将3的左孩子作为1的右孩子

    iii.   将1作为3的左孩子

                     

　　如上，我们发现，旋转之后树并没有恢复平衡。对比图9，我们发现，根的右子树不一致。

　　在上面的三个例子我们可以看出，我们对不平衡的树进行旋转的时候，不仅需要考虑需要最小失衡子树的根结点的平衡因子，还要考虑根结点较高子树的根结点的平衡因子。如图9与图11中，较高子树都为右子树，右子树不同，旋转后有着完全不同的结果。

　　为了方便讨论，我们使用连续的两个字母来表示平衡因子，以表示各种不同的情况。第一个字母表示最小不平衡子树根结点的平衡因子，第二个字母表示最小不平衡子树较高子树的根结点的平衡因子。使用L表示左子树较高，R表示右子树较高，E表示左右子树等高。如上述图11，根为的平衡因子L，较高子树的根为L，我们将这种情况表示为LL型，再如上述例子3，根为R，较高子树的根为L我们将这种情况称为RL型。

　　下面我们将对所有的失衡情况进行讨论。大致分为两大类，一左子树过高，二右子树过高。顺带提一下记忆的方法，读者对于具体某一种类型只要记住最后哪一个结点作为根即可，也就是下面标红色的部分。

二、失衡与处理详解

1. 左子树过高

　　a) LL型

　　在LL型的不平衡树中，我们首先找到最小不平衡子树，再以其根结点向右旋转。为何是向右旋转呢？应该不难理解，向右旋转后，相当于右边的子树树高增加了1，而左边的子树树高降低了1，而原本的树高之差为2,那么就能够将根的平衡因子就化为0.引用一下之前的图如下。旋转之后为“原来根结点的左孩子作为新的根结点”。

　　我们对树以根结点为中心，向右旋转。旋转步骤如下

    i.   将2作为根结点

   ii.   将3作为2的右孩子

  iii.   将2的右孩子作为3的左孩子（维护树的有序性，只是此处为NULL而已）

           

　　旋转后，3与2的平衡因子为EH，1的平衡因子保持不变。

　　b) LE型

　　在这里需要说明的是，插入的时候，是不会出现LE的这种情况的。只有在删除的时候才会出现。下面对于为何插入不可能出现做一些个人见解。

　　我们不妨假设存在LE的这种情况。如下。

            

　　假设我们刚插入的元素是1，那么原来的树已经不是平衡树。不可能。

　　假设我们刚插入的元素是2.5，那么原来的树也不是平衡树，也不可能。所以说在插入的时候，是不会出现LE的这种情况的。而具体什么时候会出现呢，我们在删除的章节进行讲解。同理，不可能出现RE的情况，下面也不进行讨论。读者可以使用反证法自行验证。

　　c) LR型

　　对于LR，要分为两步进行旋。旋转之后为“原来根结点的左孩子的右孩子作为新的根结点”。

　　第一以较高子树的根，即1，为中心向左旋转。具体步骤如下。

          i. 将2的左子树作为1的右子树（维护树的有序性，只是此处为NULL而已）

         ii.  将1作为2的左子树

        iii.  将2作为3的左子树

              

　　第二以原树的根，即3为中心，向右旋转。最后结果如下

 

　　旋转后，1,2,3的平衡因子变为0(无需记忆)。再次发表个人意见，平衡因子要用到的时候推一下就好了。

2. 右子树过高

　　a) RR型

　　还是引用一下之前的例子。旋转的步骤如下。旋转之后为“原来根结点的右孩子作为新的根结点”。

     i.  将2作为根结点

    ii.  将1作为2的左孩子

   iii.  将2的左孩子作为1的右孩子（维护树的有序性，只是此处为NULL而已）

        

　　最后1,2,3的平衡因子都为EH。

　　b)RL型

　　还是引用一下之前的例子。与LR型类似，我们需要进行两次旋转。旋转之后为“原来根结点的右孩子的左孩子作为新的根结点”。

　　第一，以根结点的右孩子即3为中心向右旋转，结果如下。具体步骤如下

      i.  将2作为1的右孩子

     ii.  将3作为2的右孩子

    iii.   将2的右孩子作为3的左孩子（维护树的有序性，只是此处为NULL而已）

              

　　第二，以原根结点即1，作为中心，向左旋转。结果如下。具体步骤如下

     i.   将2作为根结点

    ii.   将1作为2的左孩子

   iii.   将2的左孩子作为1的右孩子（维护树的有序性，只是此处为NULL而已）

 　　　　　　

　　最后1,2,3的平衡因子都会EH

3、  插入时失衡与调整的总结

1. 在所有的不平衡情况中，都是按照“寻找最小不平衡树”->“寻找所属的不平衡类别”->“根据4种类别进行固定化程序的操作”。
2. LL,LR，RR，RL其实已经为我们提供了最后哪个结点作为新的根指明了方向。如LR型最后的根结点为原来的根的左孩子的右孩子，RL型最后的根结点为原来的根的右孩子的左孩子。我们只要记住这四种情况，可以很快地推导出所有的情况。
3. 维护平衡二叉树，最麻烦的地方在于平衡因子的维护。想要熟悉这个过程，建议读者多多画图，在感官上首先体验这个过程。

 

　　说到这里，我们已经了解了了解了什么是平衡二叉树，插入结点后如何调整平衡二叉树。我们数据结构中经常讲到的有增删查改，那么下面我们来讲解一下如何删除。

AVL树的删除时的失衡与调整

今天心血来潮想要写这篇博客的原因主要就在于此。我在网上找了许久，很多人对于AVL树的查找，插入都讲解得非常精彩，但是删除的时候却经常贴出一段代码，比较少有讲解，对于我等需要完成作业的学生实在难受，完成作业后就希望能够与大家分享一下。咳咳，我们回归正题。前方高能，喝口水，看一下窗外帅哥美女再继续看吧。

一、             预备知识

　　1.       树的删除

假如有一棵二叉查找树如下，我们对它进行中序遍历，可以得到1, 2, 2.5, 3。我们发现，这是一个递增的序列。假如我们现在要删除的结点为3，在不考虑树的平衡问题时，应该哪个结点来作为顶替3的位置呢呢？答案是：对排序二叉树进行中序遍历时，3的直接前驱或者直接后驱。在这里，就是2.5，所以删除后，不进行调整的结果如中间图。假如我们现在要删除的结点为2，在不考虑树的平衡问题时，1顶替2的位置（假设左孩子优先于右孩子）。最后如下右图。

具体的步骤如下：

      i.  寻找到要删除的结点（3）

     ii.  将待删除结点的直接前驱或者直接后驱赋值给待删除结点（2.5赋值给3结点）

    iii.  将直接前驱或者直接后驱删除（将叶子结点的2.5删除）

 　　　　　　　　

     由于我们今天主要讲的是平衡二叉树的平衡调整，所以这部分就权当给读者恶补一下。假如读者还是不能理解，请先查看一下二叉查找树的删除，再继续往下看。

　2.   平衡因子的预告

　　我们已经知道，平衡因子有且仅有三种取值，LH,RH,EH。对于如下的一棵树，删除一个结点后

　　a)   原本树左右子树等高。根平衡因子的取值变化为EH->LH,EH->RH。

　　b)   原本树左右子树不等高，在较高的子树上进行删除，根平衡因子的取值变化为LH->EH,RH->EH。需要注意的是，当根的平衡因子变化为LH->EH,RH->EH时整棵树的高度是下降的。最简单的例子如下。以下两棵树，分别删除1,3后，平衡因子LH->EH,RH->EH。最后树的高度都下降了。

 　　　　　

　　c)  原本树左右子树不等高，在较低的子树上进行删除，此时需要对树进行平衡处理。如下删除了结点1，得到右边的不平衡树。

　　　　　　

 　3.       什么会导致树高降低

　　a)   如第2点的的第b项，根的平衡因子由LH->EH,RH->EH时整棵树的高度是下降的。

　　b)   建立在a点以及平衡处理正确的基础上，对树进行正确的平衡处理后，树高会降低。为什么呢？因为其实最小不平衡子树进行旋转后，最小不平衡子树根的平衡因子总是变

　　为EH，或者说，平衡调整总是降低了最小不平衡子树的高度。举例如下。树的高度由原来的3变为了2.

　　　　

二、             正式进入AVL树的删除与调整

　1.       删除结点导致平衡二叉树失衡

　　AVL树也是一棵二叉查找树，所以它的删除也是建立在二叉查找树的删除之上的，只是，我们需要在不平衡的时候进行调整。而我们在预备知识的第2点中的C项中已经提及到，假如我们在较低的子树上进行删除，将会直接导致不平衡树的出现。那么，我们需要进行平衡处理的，就在于此种情况。举个栗子。

　　　　

 　2.       调整不平衡子树后，导致了更大的不平衡子树

　　假设最小不平衡子树为A，它为双亲结点b的左子树，而b的平衡因子为RH。假设我们现在对A进行了平衡处理，如上所讲，进行平衡处理将导致树高降低。即我们让b较矮的子树变得更矮了。此时对于b而言，同样也是不平衡的。此时，我们需要再一次进行一次平衡处理。举个栗子如下。

　　假设我们删除了结点6.那么最小不平衡子树就是1,3，5对应的二叉树。它的双亲10的平衡因子为RH。我们首先对最小不平衡子树进行调整，结果如右图。我们发现，最小不平衡子树从根结点的左子树变成了整棵树，所以这个时候我们又要进行一次平衡调整。具体的平衡调整步骤与插入时是一致的，在这里就赘述。

 　　　　　　

　　在讲解插入新的结点进行平衡时，说到删除时与插入时不有着很大的不同就在于此。插入时，进行一次平衡处理，整棵树都会处于平衡状态，而在删除时，需要进行多次平衡处理，才能保证树处于平衡状态。

　　细心的朋友可能发现，上面右图中，最小不平衡子树的较高子树的平衡因子为EH。这个时候，就出现了前面插入时提及的不可能出现的失衡情况。

　3.       失衡与调整的最后一种情况LE与RE

　　LE与RE型的失衡树，在进行调整的时候，和LL与RR型的旋转方式是一致的。只是最后初始根结点的平衡因子不为EH而已。就拿上面的例子而言，调整后的结果如下。初始根结点的平衡因子为RH。相对应的，假如是LE的情况，调整后初始根结点的平衡因子为LH。