欧拉定理
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了欧拉定理相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
欧拉定理
若 \(gcd(a,m)=1\),则
\[a^\phi(m) \equiv 1 \pmod m\]
\(\phi(m),m>1\)表示\(\le m\)的数中与\(m\)互质的正整数的个数
证明
设与\(m\)互质的数为\(b_1,b_2,...,b_\phi(m)\)
\(\because gcd(a,m)=1\)
\(\therefore ab_1,ab_2,...,ab_\phi(m)\)都与\(m\)互质，且均不相同
\(\therefore \ b\\)中，每个数都与\(\ab\\)中的一个数同余，且一一对应。
\(\therefore a^\phi(m)\prod_i=1^\phi(m)b_i \equiv \prod_i=1^\phi(m)ab_i\equiv \prod_i=1^\phi(m) b_i \pmod m\)
\(\therefore m|a^\phi(m)\prod_i=1^\phi(m)b_i-\prod_i=1^\phi(m)b_i\)
即\(m|(a^\phi(m)-1 \prod_i=1^\phi(m)b_i\)
又\(\because gcd(m,\prod_i=1^\phi(m)b_i)=1\)
\(\therefore m|a^\phi(m)-1\)
即有\(a^\phi(m)\equiv 1\pmod m\)
费马小定理
当\(p\)为质数,则
\[a^p-1\equiv 1 \pmod m\]
\(\because \text此时,\phi(p)=p-1\)
可见，费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况
扩展欧拉定理
即\(gcd(a,m) \ne 1\)时
先看\(gcd(a,m)=1\)
\[a^c \equiv a^c \bmod \phi(m) \pmod m\]
...
当\(gcd(a,m) \ne 1,c<\phi(m)\)时
\[a^c \equiv a^c\bmod m\]
无需证明
当\(gcd(a,m) \ne 1,c \ge \phi(m)\)时，
\[a^c \equiv a^c \bmod \phi(m)+\phi(m)\pmod m\]
证明
设\(p\)为\(a\)的质因子，令\(m=s \times p^r,gcd(s,p)=1\)
\(p^\phi(s) \equiv 1 \pmod m\)
\(\because \texts不含因子p\)
\(\therefore \phi(s)|\phi(m)\)
\(\therefore p^\phi(m) \equiv 1 \pmod s\)
\(\to p^k \phi(m)\equiv 1 \pmod s\)
$\to p^k \phi(m)+r\equiv p^r \pmod s \times p^r $
$\to p^k \phi(m)+r+c\equiv p^r+c \pmod m $
\(\because k,c \in \mathbbN^+\)
\(\therefore \text上述可表述为：若c \ge r,\text则 p^c \equiv p^k \phi(m)+c \pmod m\)
设\(a\)中含有因子\(p^k,c \ge \phi(m) \ge r\)
\[(p^k)^c \equiv q^kc \equiv p^k \phi(m)+c \equiv (p^k)^\phi(m)+c \equiv (p^k)^t \phi(m)+c \pmod m,t \in \mathbbN^+\]
\[\to (p^k)^c \equiv (p^k)^c \bmod \phi(m)+\phi(m),\text保证指数\ge \phi(m)\]
\(a\)的每个因子满足上式
根据同余的性质 则\(a^c \equiv a^c \bmod \phi(m)+\phi(m) \pmod m\)
于是
\[a^b =\begincases a^b,b<\phi(p)\\a^b \bmod \phi(p) + \phi(p),b \ge \phi(p) \endcases\]
练习题就是上一篇的两道题
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略
以上是关于欧拉定理的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章