欧拉定理

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了欧拉定理相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

欧拉定理

\(gcd(a,m)=1\),则
\[a^\phi(m) \equiv 1 \pmod m\]

\(\phi(m),m>1\)表示\(\le m\)的数中与\(m\)互质的正整数的个数

证明

设与\(m\)互质的数为\(b_1,b_2,...,b_\phi(m)\)

\(\because gcd(a,m)=1\)

\(\therefore ab_1,ab_2,...,ab_\phi(m)\)都与\(m\)互质,且均不相同

\(\therefore \ b\\)中,每个数都与\(\ab\\)中的一个数同余,且一一对应。

\(\therefore a^\phi(m)\prod_i=1^\phi(m)b_i \equiv \prod_i=1^\phi(m)ab_i\equiv \prod_i=1^\phi(m) b_i \pmod m\)

\(\therefore m|a^\phi(m)\prod_i=1^\phi(m)b_i-\prod_i=1^\phi(m)b_i\)

\(m|(a^\phi(m)-1 \prod_i=1^\phi(m)b_i\)

\(\because gcd(m,\prod_i=1^\phi(m)b_i)=1\)

\(\therefore m|a^\phi(m)-1\)

即有\(a^\phi(m)\equiv 1\pmod m\)

费马小定理

\(p\)为质数,则
\[a^p-1\equiv 1 \pmod m\]

\(\because \text此时,\phi(p)=p-1\)

可见,费马小定理欧拉定理的一种特殊情况

扩展欧拉定理

\(gcd(a,m) \ne 1\)

先看\(gcd(a,m)=1\)
\[a^c \equiv a^c \bmod \phi(m) \pmod m\]

...

\(gcd(a,m) \ne 1,c<\phi(m)\)
\[a^c \equiv a^c\bmod m\]

无需证明

\(gcd(a,m) \ne 1,c \ge \phi(m)\)时,
\[a^c \equiv a^c \bmod \phi(m)+\phi(m)\pmod m\]

证明

\(p\)\(a\)的质因子,令\(m=s \times p^r,gcd(s,p)=1\)

\(p^\phi(s) \equiv 1 \pmod m\)

\(\because \texts不含因子p\)

\(\therefore \phi(s)|\phi(m)\)

\(\therefore p^\phi(m) \equiv 1 \pmod s\)

\(\to p^k \phi(m)\equiv 1 \pmod s\)

$\to p^k \phi(m)+r\equiv p^r \pmod s \times p^r $

$\to p^k \phi(m)+r+c\equiv p^r+c \pmod m $

\(\because k,c \in \mathbbN^+\)

\(\therefore \text上述可表述为:若c \ge r,\text则 p^c \equiv p^k \phi(m)+c \pmod m\)

\(a\)中含有因子\(p^k,c \ge \phi(m) \ge r\)

\[(p^k)^c \equiv q^kc \equiv p^k \phi(m)+c \equiv (p^k)^\phi(m)+c \equiv (p^k)^t \phi(m)+c \pmod m,t \in \mathbbN^+\]

\[\to (p^k)^c \equiv (p^k)^c \bmod \phi(m)+\phi(m),\text保证指数\ge \phi(m)\]

\(a\)的每个因子满足上式

根据同余的性质 则\(a^c \equiv a^c \bmod \phi(m)+\phi(m) \pmod m\)

于是
\[a^b =\begincases a^b,b<\phi(p)\\a^b \bmod \phi(p) + \phi(p),b \ge \phi(p) \endcases\]

练习题就是上一篇的两道题

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以上是关于欧拉定理的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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