模意义下的除法变乘法

Posted 2022-11-11 linzhuohang

前言

大家都知道，四则运算中只有除法不支持模运算。

因此，如果在需要取模（特别是统计方案之类的题目），带除法的公式会十分难处理。

本文介绍一种在模意义将除法换成乘法的方法。

前置知识：欧拉定理

$a^\varphi (b) \equiv 1 (mod \space b)$

$\varphi$表示欧拉函数

欧拉函数以及证明请自行百度

使用方法

现假设你要计算$a / b \space(mod \space c)$ 

可将其变形为$a *1 \over b \space(mod \space c)$

因为$b^\varphi (c) \equiv 1 (mod \space c)$

所以$b^\varphi (c)-1 \equiv 1 \over b (mod \space c)$

代回$a *1 \over b \space(mod \space c)$

得$a*b^\varphi (c)-1 (mod \space c)$

解决！

关于欧拉函数的计算，如果c为素数，则原式直接等于$a*b^c-1 (mod \space c)$ (欧拉函数的定义)

否则可以$O(n)$求出

应用：组合数计算

$C^n_m=n!/(n-m)!/m!$

这样我们只需要计算$n!, \space 1 \over (n-m)!,\space 1 \over m!$即可

也就是$n!,  ((n-m)!)^mod-1, (m!)^mod-1$

可以$O(n)$求出

代码

int fac[N];//i的阶乘
int ifac[N];//i的阶乘的倒数(模mod意义下)
for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
ifac[n]=pow(fac[n],mod-2);
for(int i=n-1;i>=0;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;

最后一行解释

$ifac[i]=(i!)^mod-2=(i!)^mod-2*((i+1)!)^mod-1=((i+1)!)^(mod-2)*(i+1)$